题目

设 X_1, X_2, X_3 来自总体 X 的样本，且 E(X) = mu, D(X) = sigma^2，则下列不是 mu 的无偏估计的是 （ ）A. X_2B. (X_1 + X_2 + X_3)/(3)C. (X_1)/(4) + (X_2)/(2) + (X_3)/(4)D. (X_1)/(6) + (X_2)/(2) + (X_3)/(6)

设 $X_1, X_2, X_3$ 来自总体 $X$ 的样本，且 $E(X) = \mu, D(X) = \sigma^2$，则下列不是 $\mu$ 的无偏估计的是 （ ）

A. $X_2$

B. $\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}$

C. $\frac{X_1}{4} + \frac{X_2}{2} + \frac{X_3}{4}$

D. $\frac{X_1}{6} + \frac{X_2}{2} + \frac{X_3}{6}$

题目解答

答案

D. $\frac{X_1}{6} + \frac{X_2}{2} + \frac{X_3}{6}$

解析

本题考查无偏估计的概念。解题思路是根据无偏估计的定义，若一个估计量 $\hat{\theta}$ 满足 $E(\hat{\theta}) = \theta$，则称 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计。对于本题，我们需要分别计算每个选项的期望，看其是否等于总体均值 $\mu$。

选项A

已知 $X_2$ 是来自总体 $X$ 的样本，根据期望的性质，样本的期望等于总体的期望，即 $E(X_2) = E(X) = \mu$，所以 $X_2$ 是 $\mu$ 的无偏估计。

选项B

计算 $\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}$ 的期望：
根据期望的线性性质 $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$，可得
$\begin{align*}E(\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3})&=\frac{1}{3}E(X_1 + X_2 + X_3)\\&=\frac{1}{3}(E(X_1) + E(X_2) + E(X_3))\end{align*}$
因为 $X_1, X_2, X_3$ 都来自总体 $X$，所以 $E(X_1) = E(X_2) = E(X_3) = \mu$，则
$\begin{align*}\frac{1}{3}(E(X_1) + E(X_2) + E(X_3))&=\frac{1}{3}(\mu + \mu + \mu)\\&=\frac{1}{3} \times 3\mu\\&=\mu\end{align*}$
所以 $\frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}$ 是 $\mu$ 的无偏估计。

选项C

计算 $\frac{X_1}{4} + \frac{X_2}{2} + \frac{X_3}{4}$ 的期望：
$\begin{align*}E(\frac{X_1}{4} + \frac{X_2}{2} + \frac{X_3}{4})&=E(\frac{X_1}{4}) + E(\frac{X_2}{2}) + E(\frac{X_3}{4})\\&=\frac{1}{4}E(X_1) + \frac{1}{2}E(X_2) + \frac{1}{4}E(X_3)\end{align*}$
将 $E(X_1) = E(X_2) = E(X_3) = \mu$ 代入上式，可得
$\begin{align*}\frac{1}{4}E(X_1) + \frac{1}{2}E(X_2) + \frac{1}{4}E(X_3)&=\frac{1}{4}\mu + \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{4}\mu\\&=(\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4})\mu\\&=1\times\mu\\&=\mu\end{align*}$
所以 $\frac{X_1}{4} + \frac{X_2}{2} + \frac{X_3}{4}$ 是 $\mu$ 的无偏估计。

选项D

计算 $\frac{X_1}{6} + \frac{X_2}{2} + \frac{X_3}{6}$ 的期望：
$\begin{align*}E(\frac{X_1}{6} + \frac{X_2}{2} + \frac{X_3}{6})&=E(\frac{X_1}{6}) + E(\frac{X_2}{2}) + E(\frac{X_3}{6})\\&=\frac{1}{6}E(X_1) + \frac{1}{2}E(X_2) + \frac{1}{6}E(X_3)\end{align*}$
将 $E(X_1) = E(X_2) = E(X_3) = \mu$ 代入上式，可得
$\begin{align*}\frac{1}{6}E(X_1) + \frac{1}{2}E(X_2) + \frac{1}{6}E(X_3)&=\frac{1}{6}\mu + \frac{1}{2}\mu + \frac{1}{6}\mu\\&=(\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6})\mu\\&=\frac{5}{6}\mu\end{align*}$
因为 $E(\frac{X_1}{6} + \frac{X_2}{2} + \frac{X_3}{6}) = \frac{5}{6}\mu \neq \mu$，所以 $\frac{X_1}{6} + \frac{X_2}{2} + \frac{X_3}{6}$ 不是 $\mu$ 的无偏估计。