题目
2.填空题(1分)若X_((a))(a=1,2,...,n)是p维正态总体N_(p)(mu,Sigma)中抽取的n个随机样本，L为样本离差阵，则Lsim_underline(输入答案)。
2.填空题(1分)
若$X_{(a)}(a=1,2,\cdots,n)$是p维正态总体$N_{p}(\mu,\Sigma)$中抽取的n个随机样本，L为样本离差阵，则$L\sim\_\underline{输入答案}$。
题目解答
答案
为了确定样本离差阵 $ L $ 的分布，我们首先需要理解正态总体样本的性质以及样本离差阵的定义。
给定:
- $ X_{(a)} $ (其中 $ a = 1, 2, \cdots, n $) 是从 $ p $-维正态总体 $ N_p(\mu, \Sigma) $ 中抽取的 $ n $ 个随机样本。
- 样本均值 $ \bar{X} $ 定义为:
\[
\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{a=1}^n X_{(a)}
\]
- 样本离差阵 $ L $ 定义为:
\[
L = \sum_{a=1}^n (X_{(a)} - \bar{X})(X_{(a)} - \bar{X})^T
\]
对于 $ p $-维正态总体 $ N_p(\mu, \Sigma) $ 的 $ n $ 个样本，样本离差阵 $ L $ 服从自由度为 $ n-1 $ 的 $ p $-维 Wishart 分布，记为 $ W_p(n-1, \Sigma) $。
因此，样本离差阵 $ L $ 的分布为:
\[
L \sim W_p(n-1, \Sigma)
\]
所以，答案是:
\[
\boxed{W_p(n-1, \Sigma)}
\]
解析
本题考查的知识点是多维正态总体样本离差阵的分布。解题思路如下：
- 明确题目所给信息：已知$X_{(a)}(a = 1,2,\cdots,n)$是$p$维正态总体$N_{p}(\mu,\Sigma)$中抽取的$n$个随机样本，样本离差阵$L=\sum_{a = 1}^{n}(X_{(a)}-\bar{X})(X_{(a)}-\bar{X})^T$，其中$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{a = 1}^{n}X_{(a)}$为样本均值。
- 根据多维正态总体的性质：对于$p$维正态总体$N_{p}(\mu,\Sigma)$的$n$个样本，样本离差阵$L$服从自由度为$n - 1$的$p$维Wishart分布。Wishart分布是多元统计分析中的一种重要分布，用于描述多个独立的多元正态随机向量的离差阵的分布。
- 得出结论：所以样本离差阵$L$的分布为$L\sim W_{p}(n - 1,\Sigma)$。