题目

(单选题)统计学已经证明,服从正态分布的随机变量在区间内取值的概率= ( )。A B C D

(单选题)

统计学已经证明,服从正态分布的随机变量 $x$ 在区间 $(a,b)$ 内取值的概率 $P(a\le X\le b)$ = ( )。

A $\int _b^a f(x)dx$

B $\int _ {- \infty } ^b f(x)dx$

C $\int _a^b f(x)dx$

D $\int _ {- \infty } ^a f(x)dx$

题目解答

答案

解：

根据分布函数的概率计算公式可得 $P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)$

可得其概率求取公式 $P(a\le X\le b)= \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$

由正态分布的定义可知其概率区间为 $(a,b)$

∴ $P(a\le X\le b)=\int^b_af(x)dx$

故本题选C.

解析

步骤 1：理解正态分布的概率计算
根据分布函数的概率计算公式，随机变量$X$在区间$[a, b]$内取值的概率$P(a\leqslant X\leqslant b)$可以通过分布函数$F(x)$计算，即$P(a\leqslant X\leqslant b)=F(b)-F(a)$。
步骤 2：应用正态分布的定义
正态分布的定义表明，随机变量$X$在区间$[a, b]$内取值的概率可以通过正态分布的概率密度函数$f(x)$的积分来计算，即$P(a\leqslant X\leqslant b)={\int }_{a}^{b}f(x)dx$。
步骤 3：选择正确的选项
根据上述分析，选项C ${\int }_{a}^{b}f(x)dx$是正确的。