设随机变量 X sim N(mu_1, sigma_1^2), Y sim N(mu_2, sigma_2^2), 且X与Y相互独立, 则Z=X+Y sim ( )。A. N(mu_1 + mu_2, sigma_1^2 + sigma_2^2)B. N(mu_1 + mu_2, sigma_1 sigma_2)C. N(mu_1 + mu_2, sigma_1^2 sigma_2^2)D. N(mu_1, sigma_1^2 + sigma_2^2)

本题考查正态分布的性质以及相互独立随机变量和的期望与方差的计算。解题思路是先根据期望和方差的性质求出$Z = X + Y$的期望和方差，再结合正态分布的性质确定$Z$的分布。

步骤一：求$Z = X + Y$的期望$E(Z)$

根据期望的性质：对于任意两个随机变量$X$和$Y$，有$E(X + Y)=E(X)+E(Y)$。
已知$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，根据正态分布的性质可知$E(X)=\mu_1$，$E(Y)=\mu_2$。
所以$E(Z)=E(X + Y)=E(X)+E(Y)=\mu_1 + \mu_2$。

步骤二：求$Z = X + Y$的方差$D(Z)$

因为$X$与$Y$相互独立，根据方差的性质：若两个随机变量$X$与$Y$相互独立，则$D(X + Y)=D(X)+D(Y)$。
已知$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，根据正态分布的性质可知$D(X)=\sigma_1^2$，$D(Y)=\sigma_2^2$。
所以$D(Z)=D(X + Y)=D(X)+D(Y)=\sigma_1^2 + \sigma_2^2$。

步骤三：确定$Z$的分布

根据正态分布的性质：若$X$与$Y$相互独立，且$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，则$X + Y$也服从正态分布，且其期望为$\mu_1 + \mu_2$，方差为$\sigma_1^2 + \sigma_2^2$，即$Z = X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$。