设二维随机变量(X,Y)的概率密度为[ f(x,y) = } x^2 + cxy, & 0 A. 0B. (1)/(3)C. (2)/(3)D. (5)/(3)

考查要点：本题主要考查二维概率密度函数的性质，即概率密度函数在整个定义域上的积分等于1。需要根据这一性质建立方程求解未知常数$c$。

解题核心思路：

1. 概率密度函数的归一化条件：$\iint_{D} f(x,y) \, dx \, dy = 1$，其中$D$为$(X,Y)$的定义域。
2. 分步积分：先对$y$积分，再对$x$积分，将二重积分转化为两次单积分计算。
3. 解方程求$c$：通过积分结果等于1，解出$c$的值。

破题关键点：

• 正确写出积分区域：$0 < x < 1$，$0 < y < 2$。
• 分项积分：将$x^2$和$cxy$分别积分，注意积分变量的独立性。

根据概率密度函数的归一化条件，有：
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} (x^2 + cxy) \, dy \, dx = 1$

步骤1：对$y$积分
固定$x$，对$y$从$0$到$2$积分：
$\int_{0}^{2} (x^2 + cxy) \, dy = \int_{0}^{2} x^2 \, dy + \int_{0}^{2} cxy \, dy$

• 第一项：$\int_{0}^{2} x^2 \, dy = x^2 \cdot (2 - 0) = 2x^2$
• 第二项：$\int_{0}^{2} cxy \, dy = cx \cdot \frac{y^2}{2} \Big|_{0}^{2} = cx \cdot \frac{4}{2} = 2cx$

因此，对$y$积分的结果为：
$2x^2 + 2cx$

步骤2：对$x$积分
将结果对$x$从$0$到$1$积分：
$\int_{0}^{1} (2x^2 + 2cx) \, dx = \int_{0}^{1} 2x^2 \, dx + \int_{0}^{1} 2cx \, dx$

• 第一项：$\int_{0}^{1} 2x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{1} = \frac{2}{3}$
• 第二项：$\int_{0}^{1} 2cx \, dx = 2c \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{1} = c$

因此，总积分结果为：
$\frac{2}{3} + c = 1$

步骤3：解方程求$c$
由$\frac{2}{3} + c = 1$，解得：
$c = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$