题目
8.统计调查表明,英格兰1875年至1951年期间在矿山发生10人或10人以上死亡的两-|||-次事故之间的时间T(以日计)服从均值为241的指数分布.试求 (50lt Tlt 100).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定指数分布的参数
指数分布的概率密度函数为 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$，其中 $\lambda$ 是分布的参数。指数分布的均值为 $\frac{1}{\lambda}$。题目中给出的均值为241，因此我们有 $\frac{1}{\lambda} = 241$，从而得到 $\lambda = \frac{1}{241}$。
步骤 2：计算累积分布函数
指数分布的累积分布函数为 $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$，其中 $x \geq 0$。根据题目要求，我们需要计算 $P(50 < T < 100)$，这等价于 $F(100) - F(50)$。
步骤 3：计算概率
将 $\lambda = \frac{1}{241}$ 代入累积分布函数，得到 $F(100) = 1 - e^{-\frac{100}{241}}$ 和 $F(50) = 1 - e^{-\frac{50}{241}}$。因此，$P(50 < T < 100) = F(100) - F(50) = (1 - e^{-\frac{100}{241}}) - (1 - e^{-\frac{50}{241}}) = e^{-\frac{50}{241}} - e^{-\frac{100}{241}}$。
指数分布的概率密度函数为 $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$，其中 $\lambda$ 是分布的参数。指数分布的均值为 $\frac{1}{\lambda}$。题目中给出的均值为241，因此我们有 $\frac{1}{\lambda} = 241$，从而得到 $\lambda = \frac{1}{241}$。
步骤 2：计算累积分布函数
指数分布的累积分布函数为 $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$，其中 $x \geq 0$。根据题目要求，我们需要计算 $P(50 < T < 100)$，这等价于 $F(100) - F(50)$。
步骤 3：计算概率
将 $\lambda = \frac{1}{241}$ 代入累积分布函数，得到 $F(100) = 1 - e^{-\frac{100}{241}}$ 和 $F(50) = 1 - e^{-\frac{50}{241}}$。因此，$P(50 < T < 100) = F(100) - F(50) = (1 - e^{-\frac{100}{241}}) - (1 - e^{-\frac{50}{241}}) = e^{-\frac{50}{241}} - e^{-\frac{100}{241}}$。