18.设随机变量X,Y相互独立,且 sim N((720,30)^2) sim N(640,(25)^2). 求概率 Xgt -|||-Y), X+Ygt 1400

考查要点：本题主要考查独立正态随机变量的线性组合及其概率计算，涉及正态分布的性质、标准化方法以及标准正态分布表的使用。

解题核心思路：

1. 构造新随机变量：将问题转化为对新变量（如$X-Y$或$X+Y$）的概率计算。
2. 确定分布参数：利用独立正态变量的线性组合仍为正态分布的性质，计算新变量的均值和方差。
3. 标准化与查表：将问题转化为标准正态分布的概率，通过查表或计算得到结果。

破题关键点：

• 独立性：利用独立变量的方差可加性（$\text{Var}(X \pm Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$）。
• 标准化公式：$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，将非标准正态分布转化为标准正态分布。

第（1）题：$P\{ X > Y \}$

构造新变量

令$D = X - Y$，则$D \sim N(\mu_D, \sigma_D^2)$，其中：

• $\mu_D = \mu_X - \mu_Y = 720 - 640 = 80$
• $\sigma_D^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 30^2 + 25^2 = 1525$，$\sigma_D = \sqrt{1525} \approx 39.05$

标准化

求$P\{ D > 0 \}$，即：
$P\left\{ \frac{D - \mu_D}{\sigma_D} > \frac{0 - 80}{39.05} \right\} = P\{ Z > -2.049 \}$
其中$Z \sim N(0,1)$。

查标准正态分布表

$P\{ Z > -2.049 \} = 1 - \Phi(-2.049) = \Phi(2.049) \approx 0.9798$。

第（2）题：$P\{ X+Y > 1400 \}$

构造新变量

令$S = X + Y$，则$S \sim N(\mu_S, \sigma_S^2)$，其中：

• $\mu_S = \mu_X + \mu_Y = 720 + 640 = 1360$
• $\sigma_S^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 30^2 + 25^2 = 1525$，$\sigma_S = \sqrt{1525} \approx 39.05$

标准化

求$P\{ S > 1400 \}$，即：
$P\left\{ \frac{S - \mu_S}{\sigma_S} > \frac{1400 - 1360}{39.05} \right\} = P\{ Z > 1.024 \}$

查标准正态分布表

$P\{ Z > 1.024 \} = 1 - \Phi(1.024) \approx 1 - 0.8461 = 0.1539$。