题目
18.设随机变量X,Y相互独立,且 sim N((720,30)^2) sim N(640,(25)^2). 求概率 Xgt -|||-Y), X+Ygt 1400
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $P\{ X\gt Y\}$
由于 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的正态分布随机变量，我们可以计算 $X-Y$ 的分布。$X-Y$ 也将是一个正态分布，其均值为 $720-640=80$，方差为 $30^2+25^2=1525$。因此，$X-Y\sim N(80,1525)$。为了计算 $P\{ X\gt Y\}$，我们需要计算 $P\{ X-Y\gt 0\}$。这可以通过标准化 $X-Y$ 的分布来完成，即计算 $Z=\frac{X-Y-80}{\sqrt{1525}}$ 的分布，其中 $Z\sim N(0,1)$。因此，$P\{ X\gt Y\}=P\{ Z\gt \frac{-80}{\sqrt{1525}}\}$。使用标准正态分布表，我们可以找到 $P\{ Z\gt \frac{-80}{\sqrt{1525}}\}$ 的值。
步骤 2：计算 $P\{ X+Y\gt 1400\}$
同样，由于 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的正态分布随机变量，我们可以计算 $X+Y$ 的分布。$X+Y$ 也将是一个正态分布，其均值为 $720+640=1360$，方差为 $30^2+25^2=1525$。因此，$X+Y\sim N(1360,1525)$。为了计算 $P\{ X+Y\gt 1400\}$，我们需要计算 $P\{ X+Y-1360\gt 40\}$。这可以通过标准化 $X+Y$ 的分布来完成，即计算 $Z=\frac{X+Y-1360}{\sqrt{1525}}$ 的分布，其中 $Z\sim N(0,1)$。因此，$P\{ X+Y\gt 1400\}=P\{ Z\gt \frac{40}{\sqrt{1525}}\}$。使用标准正态分布表，我们可以找到 $P\{ Z\gt \frac{40}{\sqrt{1525}}\}$ 的值。
由于 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的正态分布随机变量，我们可以计算 $X-Y$ 的分布。$X-Y$ 也将是一个正态分布，其均值为 $720-640=80$，方差为 $30^2+25^2=1525$。因此，$X-Y\sim N(80,1525)$。为了计算 $P\{ X\gt Y\}$，我们需要计算 $P\{ X-Y\gt 0\}$。这可以通过标准化 $X-Y$ 的分布来完成，即计算 $Z=\frac{X-Y-80}{\sqrt{1525}}$ 的分布，其中 $Z\sim N(0,1)$。因此，$P\{ X\gt Y\}=P\{ Z\gt \frac{-80}{\sqrt{1525}}\}$。使用标准正态分布表，我们可以找到 $P\{ Z\gt \frac{-80}{\sqrt{1525}}\}$ 的值。
步骤 2：计算 $P\{ X+Y\gt 1400\}$
同样，由于 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的正态分布随机变量，我们可以计算 $X+Y$ 的分布。$X+Y$ 也将是一个正态分布，其均值为 $720+640=1360$，方差为 $30^2+25^2=1525$。因此，$X+Y\sim N(1360,1525)$。为了计算 $P\{ X+Y\gt 1400\}$，我们需要计算 $P\{ X+Y-1360\gt 40\}$。这可以通过标准化 $X+Y$ 的分布来完成，即计算 $Z=\frac{X+Y-1360}{\sqrt{1525}}$ 的分布，其中 $Z\sim N(0,1)$。因此，$P\{ X+Y\gt 1400\}=P\{ Z\gt \frac{40}{\sqrt{1525}}\}$。使用标准正态分布表，我们可以找到 $P\{ Z\gt \frac{40}{\sqrt{1525}}\}$ 的值。