题目
22[单选题] 某班学生的平均成绩是80分,标准差是5分。假设该班考试分数的分布未知，则得分在70-90分之间的学生约占() bigcircA.68% bigcircB.75% bigcircC.90% bigcircD.95%
22[单选题] 某班学生的平均成绩是80分,标准差是5分。假设该班考试分数的分布未知，则得分在70-90分之间的学生约占() $\bigcirc$
A.68% $\bigcirc$
B.75% $\bigcirc$
C.90% $\bigcirc$
D.95%
A.68% $\bigcirc$
B.75% $\bigcirc$
C.90% $\bigcirc$
D.95%
题目解答
答案
根据切比雪夫不等式，对于任意分布，数据落在平均值的 $k$ 倍标准差范围内的比例至少为 $1 - \frac{1}{k^2}$。
已知平均成绩为80分，标准差为5分，得分范围70-90分对应平均值的两个标准差范围（即 $k=2$）。
代入公式得：
\[ 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = 0.75 \]
即至少75%的数据位于该范围内。
答案：$\boxed{B}$
解析
考查要点：本题主要考查切比雪夫不等式的应用，该不等式适用于未知分布的数据，能够估计数据落在平均值附近某个标准差范围内的比例。
解题核心思路：
- 确定标准差倍数：计算给定分数范围与平均值的距离，转化为标准差的倍数$k$。
- 代入切比雪夫公式：利用公式$1 - \frac{1}{k^2}$计算最小比例。
- 结合选项判断：根据计算结果选择最接近的选项。
破题关键点：
- 明确分布未知时，不能使用正态分布的经验法则，必须使用切比雪夫不等式。
- 正确计算$k$值：分数范围与平均值的距离需除以标准差得到$k$。
步骤1：计算$k$值
平均分为$80$分，标准差为$5$分，分数范围为$70$分到$90$分。
- 下限与平均值的距离：$80 - 70 = 10$分
- 上限与平均值的距离：$90 - 80 = 10$分
- 总距离为$10 + 10 = 20$分，对应标准差倍数：
$k = \frac{20}{5} = 4 \quad \text{（错误思路）}$
正确思路：实际应计算单边距离，即$k = \frac{10}{5} = 2$。
步骤2：代入切比雪夫公式
根据公式：
$1 - \frac{1}{k^2} = 1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4} = 0.75$
因此，至少75%的学生分数在$70$到$90$分之间。
步骤3：选择答案
选项中$75\%$对应B，故答案为B。