题目
例7.3 某仪器厂生产的仪表圆盘，其标准直径应为20mm，在正常情况下，仪表圆盘的直径服从正态分布N(20,1).为了检查该厂某天生产是否正常，对生产过程中的仪表圆盘随机抽查了5个，测得直径(单位:mm)分别为19,19.5,19,20,20.5,若显著性水平α=0.05，问：该天生产是否正常?
例7.3 某仪器厂生产的仪表圆盘，其标准直径应为20mm，在正常情况下，仪表圆盘的直径服从正态分布N(20,1).为了检查该厂某天生产是否正常，对生产过程中的仪表圆盘随机抽查了5个，测得直径(单位:mm)分别为
19,19.5,19,20,20.5,
若显著性水平α=0.05，问：该天生产是否正常?
题目解答
答案
1. **计算样本均值**：
\[
\bar{X} = \frac{19 + 19.5 + 19 + 20 + 20.5}{5} = 19.6
\]
2. **已知条件**：
\[
\sigma = 1, \quad n = 5, \quad \alpha = 0.05, \quad u_{0.025} = 1.96
\]
3. **计算检验统计量**：
\[
Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{19.6 - 20}{1 / \sqrt{5}} \approx -0.8944
\]
4. **比较统计量与临界值**：
\[
|Z| \approx 0.8944 < 1.96
\]
统计量未落入拒绝域。
**结论**：
fail to reject $H_0$，认为该天生产正常。
\[
\boxed{\text{认为该天生产正常}}
\]
解析
步骤 1：计算样本均值
根据题目给出的数据，计算样本均值 \(\bar{X}\)。
\[ \bar{X} = \frac{19 + 19.5 + 19 + 20 + 20.5}{5} = 19.6 \]
步骤 2：已知条件
题目中给出的已知条件包括标准差 \(\sigma = 1\)，样本量 \(n = 5\)，显著性水平 \(\alpha = 0.05\)，以及标准正态分布的临界值 \(u_{0.025} = 1.96\)。
步骤 3：计算检验统计量
根据已知条件，计算检验统计量 \(Z\)。
\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{19.6 - 20}{1 / \sqrt{5}} \approx -0.8944 \]
步骤 4：比较统计量与临界值
比较计算出的检验统计量 \(Z\) 的绝对值与临界值 \(u_{0.025}\)。
\[ |Z| \approx 0.8944 < 1.96 \]
步骤 5：得出结论
由于统计量未落入拒绝域，因此我们不能拒绝原假设 \(H_0\)，即认为该天生产正常。
根据题目给出的数据，计算样本均值 \(\bar{X}\)。
\[ \bar{X} = \frac{19 + 19.5 + 19 + 20 + 20.5}{5} = 19.6 \]
步骤 2：已知条件
题目中给出的已知条件包括标准差 \(\sigma = 1\)，样本量 \(n = 5\)，显著性水平 \(\alpha = 0.05\)，以及标准正态分布的临界值 \(u_{0.025} = 1.96\)。
步骤 3：计算检验统计量
根据已知条件，计算检验统计量 \(Z\)。
\[ Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{19.6 - 20}{1 / \sqrt{5}} \approx -0.8944 \]
步骤 4：比较统计量与临界值
比较计算出的检验统计量 \(Z\) 的绝对值与临界值 \(u_{0.025}\)。
\[ |Z| \approx 0.8944 < 1.96 \]
步骤 5：得出结论
由于统计量未落入拒绝域，因此我们不能拒绝原假设 \(H_0\)，即认为该天生产正常。