设总体approx N(mu ,(sigma )^2)，approx N(mu ,(sigma )^2)是取自该总体X的一个简单随机样本，则当approx N(mu ,(sigma )^2)______时，approx N(mu ,(sigma )^2)是未知参数approx N(mu ,(sigma )^2)的无偏估计量.

步骤 1：确定样本的分布
由于$X_1, X_2, X_3$是取自总体$X\sim N(\mu, \sigma^2)$的简单随机样本，因此每个$X_i$都独立地服从$N(\mu, \sigma^2)$的分布。

步骤 2：计算$a$的期望值
根据期望的线性性质，我们有：
$$E(a) = E\left(\frac{1}{3}X_1 + aX_2 + \frac{1}{3}X_3\right) = \frac{1}{3}E(X_1) + aE(X_2) + \frac{1}{3}E(X_3)$$
由于$X_1, X_2, X_3$都服从$N(\mu, \sigma^2)$，所以$E(X_i) = \mu$，$i = 1, 2, 3$。因此：
$$E(a) = \frac{1}{3}\mu + a\mu + \frac{1}{3}\mu = \left(\frac{2}{3} + a\right)\mu$$

步骤 3：确定$a$的无偏性条件
为了使$a$是$\mu$的无偏估计量，我们需要$E(a) = \mu$。因此，我们有：
$$\left(\frac{2}{3} + a\right)\mu = \mu$$
解这个方程，得到：
$$\frac{2}{3} + a = 1$$
$$a = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$