题目

图 2-19 为一变截面圆杆ABCD.已知 _(1)=20kN ,_(2)=35kN _(3)=35kN ,_(1)=(l)_(3)=-|||-300mm, _(2)=400mm ,_(1)=12mm _(2)=16mm _(3)=24mm 。试求:-|||-(1) I-I 、-II 、Ⅲ-Ⅲ截面的轴力并作轴力图。-|||-(2)杆的最大正应力σmox。-|||-(3)B截面的位移及AD杆的变形。-|||-丽 Ⅲ-|||-彡 F 下2-|||-F1-|||-A-|||-D Ⅲ C Ⅱ B I-|||-l3 l2 l1-|||-图 2-19

题目解答

答案

解析

考察知识

轴力计算、轴力图绘制、正应力计算、变形与位移计算。

解题思路

(1) 轴力计算与轴力图

  1. 支座反力计算：以整杆为研究对象，平衡方程 $\sum F_x=0$，得 $F_{R_D}=-50\,\text{kN}$（负号表示与假设方向相反）。
  2. 截面轴力：
    • I-I截面（AB段）：截断后取左段，$\sum F_x=0$，$F_{N1}=F_1=20\,\text{kN}$（拉应力，+）。
    • II-II截面（BC段）：截断后取左段，$\sum F_x=0$，$F_{N2}=F_1-F_2=20-35=-15\,\text{kN}$（压应力，-）。
    • III-III截面（DC段）：截断后取右段，$\sum F_x=0$，$F_{N3}=F_{R_D}=-50\,\text{kN}$（压应力，-）。
  3. 轴力图：根据轴力符号（拉为正、压为负）绘制阶梯状图形。

(2) 最大正应力

正应力公式 $\sigma=\frac{F_N}{A}$，截面面积 $A=\frac{\pi d^2}{4}$：

  • AB段：$A_1=\frac{\pi(12)^2}{4}=113.1\,\text{mm}^2$，$\sigma_{AB}=\frac{20\times10^3}{113.1}\approx176.8\,\text{MPa}$（拉）。
  • BC段：$A_2=\frac{\pi(16)^2}{4}=201.1\,\text{mm}^2$，$\sigma_{BC}=\frac{-15\times10^3}{201.1}\approx-74.6\,\text{MPa}$（压）。
  • DC段：$A_3=\frac{\pi(24)^2}{4}=452.4\,\text{mm}^2$，$\sigma_{DC}=\frac{-50\times10^3}{452.4}\approx-110.5\,\text{MPa}$（压）。
    最大正应力：$\sigma_{\text{max}}=176.8\,\text{MPa}$（AB段拉应力）。

(3) B截面位移与AD杆总变形

变形公式 $\Delta l=\frac{F_N l}{EA}$（E为弹性模量，题目未给出，答案中保留符号计算）：

  • AB段变形：$\Delta l_{AB}=\frac{F_{N1}l_1}{EA_1}=\frac{20\times10^3\times300}{E\times113.1}\approx2.53\times10^{-4}\,\text{m}$（伸长）。

  • BC段变形：$\Delta l_{BC}=\frac{F_{N2}l_2}{EA_2}=\frac{-15\times10^3\times400}{E\times201.1}\approx-1.42\times10^{-4}\,\text{m}$（缩短）。

  • DC段变形：$\Delta l_{DC}=\frac{F_{N3}l_3}{EA_3}=\frac{-50\times10^3\times300}{E\times452.4}\approx-1.58\times10^{-4}\,\text{m}$（缩短）。

  • B截面位移：$\Delta_B=\Delta l_{BC}+\Delta l_{DC}\approx-0.3\,\text{mm}$（负号表示与F1方向相反）。

  • AD杆总变形：$\Delta l_{AD}=\Delta l_{AB}+\Delta l_{BC}+\Delta l_{DC}\approx-0.47\,\text{mm}$（缩短）。