题目

2.在总体N(6,20 ^2)中随机抽收容量为100的样本X1,X2,···,X100,求样-|||-本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。(注: Phi (0.5)=0.6915

2. $\begin{aligned}&\text{在总体 }N(6,20^2)\text{ 中随机抽收容量为 100 的样本 }X_1,\quad X_2,\cdots,\quad X_{100}\text{,求样}\\&\text{本均值与总体均值之差的绝对值大于1 的概率。(注: }\Phi(0.5)=0.6915)\end{aligned}$

题目解答

答案

解： $\begin{aligned} \text{(1)}\bar{X}=\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}& X_{i},\text{,因总体 }X{\sim}N(6,20),{\text{故 }\overline{X}{\sim}N}\left(6,{\frac{20}{100}}\right),{\text{从而}} \\ P\{|x-6|>1\}& =1-P\big\{|\bar{X}-6|\leqslant1\big\} \\ &=1-P\{-1\leqslant\bar{X}-6\leqslant1\} \\ &=1-P\left\{-\frac{1}{\sqrt{20/100}}\leqslant\frac{\overline{X}-6}{\sqrt{20/100}}\leqslant\frac{1}{\sqrt{20/100}}\right\} \\ &=1-\left[\boldsymbol{\Phi}\Big(\frac1{\sqrt{20/100}}\Big)-\boldsymbol{\Phi}\Big(\frac{-1}{\sqrt{20/100}}\Big)\right]=2-2\boldsymbol{\Phi}(0.5) \\ &=2(1-0.6915)=0.617. \end{aligned}$

解析

步骤 1：确定样本均值的分布
样本均值 $\bar{X}$ 服从正态分布 $N(6, 20^2/100)$，即 $N(6, 4)$。这是因为样本均值的均值等于总体均值，样本均值的方差等于总体方差除以样本容量。

步骤 2：计算样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率
我们需要计算 $P(|\bar{X} - 6| > 1)$。这等价于计算 $P(\bar{X} - 6 > 1)$ 和 $P(\bar{X} - 6 < -1)$ 的和。

步骤 3：标准化并使用标准正态分布表
将 $\bar{X} - 6$ 标准化，得到 $Z = \frac{\bar{X} - 6}{\sqrt{4}} = \frac{\bar{X} - 6}{2}$。因此，$P(|\bar{X} - 6| > 1) = P(Z > \frac{1}{2}) + P(Z < -\frac{1}{2})$。由于标准正态分布的对称性，$P(Z > \frac{1}{2}) = P(Z < -\frac{1}{2})$。因此，$P(|\bar{X} - 6| > 1) = 2P(Z > \frac{1}{2})$。

步骤 4：使用标准正态分布表计算概率
根据标准正态分布表，$P(Z > 0.5) = 1 - \Phi(0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085$。因此，$P(|\bar{X} - 6| > 1) = 2 \times 0.3085 = 0.617$。