设总体X-N(80.202),从总体中抽取一个容量100的样本,问样本均值和总体均值之差的绝对值大于3的概率是 A. ,0.02B. ,0.13C. ,0.32D. ,0.56

考查要点：本题主要考查正态分布下样本均值的分布以及标准化方法的应用，需要计算样本均值与总体均值之差的绝对值超过指定值的概率。

解题核心思路：

1. 确定样本均值的分布：由于总体服从正态分布，样本均值的分布仍为正态分布，均值与总体均值相同，方差为总体方差除以样本容量。
2. 标准化处理：将问题转化为标准正态分布下的概率计算。
3. 查标准正态分布表：通过查表或计算得到对应概率值。

破题关键点：

• 样本均值的标准差计算：$\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。
• 绝对值不等式的转化：$|Z| > 1.5$对应两侧尾部概率之和。

1. 确定样本均值的分布
   总体$X \sim N(80, 20^2)$，样本容量$n=100$，则样本均值$\bar{X}$服从：
   $\bar{X} \sim N\left(80, \left(\frac{20}{\sqrt{100}}\right)^2\right) = N(80, 2^2)$

2. 标准化处理
   将$\bar{X}$标准化为标准正态变量$Z$：
   $Z = \frac{\bar{X} - 80}{2} \sim N(0,1)$
   原问题转化为求：
   $P(|\bar{X} - 80| > 3) = P\left(\left|\frac{\bar{X} - 80}{2}\right| > \frac{3}{2}\right) = P(|Z| > 1.5)$

3. 计算概率

   • $P(|Z| > 1.5) = 1 - P(-1.5 \leq Z \leq 1.5)$
   • 查标准正态分布表，$Z=1.5$对应的累积概率为$0.9332$，因此：
     $P(-1.5 \leq Z \leq 1.5) = 0.9332 - (1 - 0.9332) = 0.8664$
   • 最终概率为：
     $1 - 0.8664 = 0.1336 \approx 0.13$