题目
有一批建筑房屋用的木柱，每根长度小于3米的概率20%.现从木柱中随机地取出100根，试用中心极限定理近似计算其中至少有30根小于3米的概率.（已知(2)=0.9772, (2.5)=0.9938 (3)=0.9987，根据需要选用）
有一批建筑房屋用的木柱，每根长度小于3米的概率20%.现从木柱中随机地取出100根，试用中心极限定理近似计算其中至少有30根小于3米的概率.（已知
，根据需要选用）
题目解答
答案
用X表示每根木柱的长度，则
，则用Y表示100根木柱中长度小于3m的数量，则Y服从参数
的二项分布，则
，
，则
.
解析
步骤 1：定义随机变量
设X表示每根木柱的长度，Y表示100根木柱中长度小于3米的数量。根据题意，$P(X<3)=0.2$，即每根木柱长度小于3米的概率为0.2。
步骤 2：确定Y的分布
Y服从参数$n=100$，$p=0.2$的二项分布，即$Y\sim B(100,0.2)$。
步骤 3：计算Y的期望和方差
根据二项分布的性质，$E(Y)=np=100\times 0.2=20$，$D(Y)=np(1-p)=100\times 0.2\times (1-0.2)=16$。
步骤 4：应用中心极限定理
由于$n$较大，根据中心极限定理，$Y$近似服从正态分布$N(20,16)$。因此，$P(Y\geqslant 30)$可以近似为$P(\dfrac{Y-E(Y)}{\sqrt{D(Y)}}\geqslant \dfrac{30-E(Y)}{\sqrt{D(Y)}})$。
步骤 5：计算概率
$P(Y\geqslant 30)=P(\dfrac{Y-20}{4}\geqslant 2.5)=1-P(\dfrac{Y-20}{4}\leqslant 2.5)=1-(2.5)=1-0.9938=0.0062$。
设X表示每根木柱的长度，Y表示100根木柱中长度小于3米的数量。根据题意，$P(X<3)=0.2$，即每根木柱长度小于3米的概率为0.2。
步骤 2：确定Y的分布
Y服从参数$n=100$，$p=0.2$的二项分布，即$Y\sim B(100,0.2)$。
步骤 3：计算Y的期望和方差
根据二项分布的性质，$E(Y)=np=100\times 0.2=20$，$D(Y)=np(1-p)=100\times 0.2\times (1-0.2)=16$。
步骤 4：应用中心极限定理
由于$n$较大，根据中心极限定理，$Y$近似服从正态分布$N(20,16)$。因此，$P(Y\geqslant 30)$可以近似为$P(\dfrac{Y-E(Y)}{\sqrt{D(Y)}}\geqslant \dfrac{30-E(Y)}{\sqrt{D(Y)}})$。
步骤 5：计算概率
$P(Y\geqslant 30)=P(\dfrac{Y-20}{4}\geqslant 2.5)=1-P(\dfrac{Y-20}{4}\leqslant 2.5)=1-(2.5)=1-0.9938=0.0062$。