题目
设总体 X sim N(mu_1, sigma_1^2)，Y sim N(mu_2, sigma_2^2)，sigma_1^2 = sigma_2^2 未知，关于两个正态总体均值的假设检验 H_0: mu_1 geq mu_2，H_1: mu_1 < mu_2，则在显著性水平 alpha 下，H_0 的拒绝域为(）. A. |t| geq t_(1-(alpha)/(2))(n_1 + n_2 - 2)B. t geq t_(1-alpha)(n_1 + n_2 - 2)C. t leq -t_(1-alpha)(n_1 + n_2 - 2)D. t > t_(1-(alpha)/(2))(n_1 + n_2 - 2)
设总体 $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ 未知，关于两个正态总体均值的假设检验 $H_0: \mu_1 \geq \mu_2$，$H_1: \mu_1 < \mu_2$，则在显著性水平 $\alpha$ 下，$H_0$ 的拒绝域为(）.
- A. $|t| \geq t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_1 + n_2 - 2)$
- B. $t \geq t_{1-\alpha}(n_1 + n_2 - 2)$
- C. $t \leq -t_{1-\alpha}(n_1 + n_2 - 2)$
- D. $t > t_{1-\frac{\alpha}{2}}(n_1 + n_2 - 2)$
题目解答
答案
为了确定假设检验 $ H_0: \mu_1 \ge \mu_2 $ 对 $ H_1: \mu_1 < \mu_2 $ 的拒绝域，我们需要遵循以下步骤：
1. **识别检验统计量**：
由于总体方差 $ \sigma_1^2 $ 和 $ \sigma_2^2 $ 未知但相等，我们使用合并的t检验。检验统计量为：
\[
t = \frac{(\bar{X} - \bar{Y}) - (\mu_1 - \mu_2)}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}
\]
其中 $ S_p $ 是合并标准差，由下式给出：
\[
S_p = \sqrt{\frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}}
\]
在原假设 $ H_0: \mu_1 \ge \mu_2 $ 下，检验统计量简化为：
\[
t = \frac{\bar{X} - \bar{Y}}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}
\]
这个统计量遵循自由度为 $ n_1 + n_2 - 2 $ 的t分布。
2. **确定拒绝域**：
由于备择假设 $ H_1: \mu_1 < \mu_2 $ 是单侧的，我们只对t分布的下尾感兴趣。在显著性水平 $ \alpha $ 下，我们拒绝原假设，如果检验统计量 $ t $ 小于自由度为 $ n_1 + n_2 - 2 $ 的t分布的 $ \alpha $-分位数。这个分位数表示为 $ -t_{1-\alpha}(n_1 + n_2 - 2) $。
因此，$ H_0 $ 的拒绝域为：
\[
t \le -t_{1-\alpha}(n_1 + n_2 - 2)
\]
3. **结论**：
正确的选择是：
\[
\boxed{C}
\]
解析
考查要点：本题主要考查两个独立正态总体均值的假设检验，特别是方差未知但相等时的t检验，以及单侧检验的拒绝域形式。
解题核心思路：
- 确定检验类型：根据备择假设形式（$H_1: \mu_1 < \mu_2$），判断为左侧检验。
- 选择检验统计量：由于方差未知且相等，采用合并方差t检验统计量。
- 确定拒绝域方向：左侧检验的拒绝域位于t分布的左尾，临界值为$-t_{1-\alpha}(df)$。
破题关键点：
- 单侧检验的方向直接影响临界值的符号和位置。
- 合并方差t检验的自由度为$n_1 + n_2 - 2$。
步骤1：确定检验统计量
当两个总体方差未知但相等时，检验统计量为：
$t = \frac{(\bar{X} - \bar{Y})}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$
其中合并方差$S_p^2$为：
$S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$
步骤2：确定拒绝域方向
- 备择假设$H_1: \mu_1 < \mu_2$为左侧检验，拒绝域在t分布的左尾。
- 显著性水平$\alpha$对应的临界值为$-t_{1-\alpha}(n_1 + n_2 - 2)$，即当$t \leq -t_{1-\alpha}$时拒绝$H_0$。
步骤3：排除干扰选项
- 选项C（$t \leq -t_{1-\alpha}$）符合左侧检验的拒绝域形式。
- 其他选项（如双侧或右侧）均与检验方向矛盾。