题目
16.如图所示,有一长为L、质量m的可绕光滑水平轴O无摩擦地转动的均匀细棒,一端悬挂-|||-在O点,一质量为m0的小球以速率v0沿水平方向击到细棒的下端点,设小球与细棒做完-|||-全弹性碰撞,求碰撞后小球的回跳速率和细棒的角速度.-|||-O-|||-l-|||-i-|||-第16题图
题目解答
答案
解析
步骤 1：机械能守恒定律
小球与细棒发生完全弹性碰撞，因此系统机械能守恒。碰撞前后的动能之和相等。设碰撞后小球的速度为v，细棒的角速度为ω，则有：
$$\frac{1}{2}m_0v_0^2 = \frac{1}{2}m_0v^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$$
其中，I为细棒绕O点的转动惯量，对于均匀细棒，I = (1/3)mL^2。
步骤 2：角动量守恒定律
小球与细棒碰撞过程中，系统角动量守恒。碰撞前后的角动量之和相等。设碰撞前小球的角动量为m0v0L，碰撞后小球的角动量为m0vL，细棒的角动量为Iω，则有：
$$m_0v_0L = m_0vL + I\omega$$
步骤 3：联立方程求解
将步骤1和步骤2中的方程联立，可以解出小球的回跳速率v和细棒的角速度ω。
$$\frac{1}{2}m_0v_0^2 = \frac{1}{2}m_0v^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{3}mL^2)\omega^2$$
$$m_0v_0L = m_0vL + (\frac{1}{3}mL^2)\omega$$
解得：
$$\omega = \frac{6m_0v_0}{(3m_0+m)L}$$
$$v = \frac{3m_0-m}{3m_0+m}v_0$$
小球与细棒发生完全弹性碰撞，因此系统机械能守恒。碰撞前后的动能之和相等。设碰撞后小球的速度为v，细棒的角速度为ω，则有：
$$\frac{1}{2}m_0v_0^2 = \frac{1}{2}m_0v^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$$
其中，I为细棒绕O点的转动惯量，对于均匀细棒，I = (1/3)mL^2。
步骤 2：角动量守恒定律
小球与细棒碰撞过程中，系统角动量守恒。碰撞前后的角动量之和相等。设碰撞前小球的角动量为m0v0L，碰撞后小球的角动量为m0vL，细棒的角动量为Iω，则有：
$$m_0v_0L = m_0vL + I\omega$$
步骤 3：联立方程求解
将步骤1和步骤2中的方程联立，可以解出小球的回跳速率v和细棒的角速度ω。
$$\frac{1}{2}m_0v_0^2 = \frac{1}{2}m_0v^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{3}mL^2)\omega^2$$
$$m_0v_0L = m_0vL + (\frac{1}{3}mL^2)\omega$$
解得：
$$\omega = \frac{6m_0v_0}{(3m_0+m)L}$$
$$v = \frac{3m_0-m}{3m_0+m}v_0$$