设某批产品共50件,其中有0,1,2,3,4件次品的概率分别为0.37,0.37,0.18,0.06,0.02.现从该批产品中任取10件,检查出1件次品.试求'该批产品中次品不超过2件'的概率.

步骤 1：定义事件
设$A_i$表示“一批产品中有$i$件次品”(i=0,1,2,3,4)，$B$表示“任取10件，检查出一件次品”，$C$表示“已知10件中有一件次品，该批产品中次品不超过2件”。则由题意，$P(C)=P(A_0|B)+P(A_1|B)+P(A_2|B)$。

步骤 2：计算条件概率
根据题意，计算$P(B|A_i)$，即在$A_i$条件下，任取10件检查出一件次品的概率。
- $P(B|A_0)=0$，因为没有次品，所以不可能检查出次品。
- $P(B|A_1)=\dfrac{{C}_{1}^{1}{C}_{49}^{9}}{{C}_{50}^{10}}=\dfrac{1}{5}$，从1件次品中取1件，从49件正品中取9件。
- $P(B|A_2)=\dfrac{{C}_{2}^{1}{C}_{48}^{9}}{{C}_{50}^{10}}=\dfrac{16}{49}$，从2件次品中取1件，从48件正品中取9件。
- $P(B|A_3)=\dfrac{{C}_{3}^{1}{C}_{47}^{9}}{{C}_{50}^{10}}=\dfrac{39}{98}$，从3件次品中取1件，从47件正品中取9件。
- $P(B|A_4)=\dfrac{{C}_{4}^{1}{C}_{46}^{9}}{{C}_{50}^{10}}=\dfrac{988}{2303}$，从4件次品中取1件，从46件正品中取9件。

步骤 3：计算全概率
由全概率公式可得$P(B)=\sum_{i=0}^{4}P(A_i)P(B|A_i)$
$=0.37\times 0+0.37\times \dfrac{1}{5}+0.18\times \dfrac{16}{49}+0.06\times \dfrac{39}{98}+0.02\times \dfrac{988}{2303}$
$\approx 0.1652$

步骤 4：计算贝叶斯概率
由贝叶斯公式可得：
$P(A_0|B)=\dfrac{P(A_0)P(B|A_0)}{P(B)}=0$
$P(A_1|B)=\dfrac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)}=\dfrac{0.37\times \dfrac{1}{5}}{0.1652}=0.45$
$P(A_2|B)=\dfrac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)}=\dfrac{0.18\times \dfrac{16}{49}}{0.1652}=0.04$

步骤 5：计算最终概率
$P(C)=P(A_0|B)+P(A_1|B)+P(A_2|B)$
$=0+0.45+0.04=0.49$