题目
(单选题,3分)设X_(1),X_(2),...,X_(n)是取自标准正态分布N(0,1)总体的一个样本，overline(X)是样本均值，S_(n)^2是修正样本方差，则（）成立。 A. noverline(X)sim N(0,1) B. overline(X)sim N(0,1) C. sum_(i=1)^nX_(i)^2sim chi^2(n) D. (overline(X))/(S_(n)^2)sim t(n)
(单选题,3分)设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是取自标准正态分布N(0,1)总体的一个样本，$\overline{X}$是样本均值，$S_{n}^{2}$是修正样本方差，则（）成立。
A. $n\overline{X}\sim N(0,1)$
B. $\overline{X}\sim N(0,1)$
C. $\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\sim \chi^{2}(n)$
D. $\frac{\overline{X}}{S_{n}^{2}}\sim t(n)$
A. $n\overline{X}\sim N(0,1)$
B. $\overline{X}\sim N(0,1)$
C. $\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\sim \chi^{2}(n)$
D. $\frac{\overline{X}}{S_{n}^{2}}\sim t(n)$
题目解答
答案
**答案：C**
**解析：**
- **选项A：** $n\overline{X} = \sum_{i=1}^n X_i$，均值为0，方差为$n$，服从$N(0,n)$，错误。
- **选项B：** $\overline{X}$均值为0，方差为$\frac{1}{n}$，服从$N(0,\frac{1}{n})$，错误。
- **选项C：** $X_i^2$服从$\chi^2(1)$，独立平方和服从$\chi^2(n)$，正确。
- **选项D：** $\frac{\overline{X}}{S_n / \sqrt{n}}$服从$t(n-1)$，分母应为$S_n$而非$S_n^2$，错误。
**答案：C**
解析
本题考查标准正态分布样本的性质，涉及样本均值、修正样本方差以及常见统计量分布（正态分布、卡方分布、t分布）。解题核心在于：
- 样本均值的分布：$\overline{X} \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$；
- 独立标准正态变量平方和的分布：$\sum X_i^2 \sim \chi^2(n)$；
- t分布的构造条件：需满足“标准正态变量除以独立卡方变量的平方根”的形式。
选项A：$n\overline{X} \sim N(0,1)$
- $\overline{X} = \frac{1}{n}\sum X_i$，其均值为$0$，方差为$\frac{1}{n}$，故$\overline{X} \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$。
- $n\overline{X} = \sum X_i$，其均值为$0$，方差为$n$，因此服从$N(0,n)$，不成立。
选项B：$\overline{X} \sim N(0,1)$
- 由$\overline{X}$的分布可知，其方差为$\frac{1}{n}$，故$\overline{X} \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$，不成立。
选项C：$\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2} \sim \chi^{2}(n)$
- 每个$X_i \sim N(0,1)$，故$X_i^2 \sim \chi^2(1)$。
- 独立卡方变量的平方和仍服从卡方分布，自由度为$n$，成立。
选项D：$\frac{\overline{X}}{S_{n}^{2}} \sim t(n)$
- 正确的t分布形式应为$\frac{\overline{X}}{S_n / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$，其中$S_n^2$是修正样本方差。
- 选项中分母为$S_n^2$，不符合t分布定义，不成立。