题目

设随机变量X服从正态分布N（0，1），对给定的α∈（0，1），数uα满足P(X＞uα)=α，若P(|X|＜x)=α，则x等于（）A. uα2B. u1−α2C. u1−α2D. u1-α

设随机变量X服从正态分布N（0，1），对给定的α∈（0，1），数uα满足P{X＞uα}=α，若P{|X|＜x}=α，则x等于（）
A. u
α
2

B. u
1−α
2

C. u1−
α
2

D. u1-α

题目解答

答案

如右图所示：
由标准正态分布函数的对称性可知，P{X＞uα}=P{X＜-uα}=α，
于是，由P{|X|＜x}=α，得：
1-α=1-P{|X|＜x}=P{|X|≥x}=P（X≥x）+P（X≤-x）=2P（X≥x）
∴P（X≥x）=
1−α
2
，
因此，由数uα满足P{X＞uα}=α的定义，知：
x＝u
1−α
2

故选：B

解析

步骤 1：理解正态分布的性质
随机变量X服从正态分布N（0，1），即X的分布是标准正态分布。标准正态分布具有对称性，其均值为0，标准差为1。

步骤 2：理解给定条件
对给定的α∈（0，1），数u_α满足P{X＞u_α}=α。这意味着在标准正态分布中，随机变量X大于u_α的概率为α。

步骤 3：利用对称性
由于标准正态分布的对称性，P{X＞u_α}=α意味着P{X＜-u_α}=α。因此，P{X＞u_α}和P{X＜-u_α}的总和为2α。

步骤 4：计算P{|X|＜x}
若P{|X|＜x}=α，则P{|X|≥x}=1-α。由于标准正态分布的对称性，P{|X|≥x}可以分解为P{X≥x}和P{X≤-x}，即P{|X|≥x}=P{X≥x}+P{X≤-x}。由于对称性，P{X≥x}=P{X≤-x}，因此P{X≥x}=1−α/2。

步骤 5：确定x的值
根据P{X＞u_α}=α的定义，当P{X≥x}=1−α/2时，x等于u1−α/2。