题目
设在木材中抽出100根，测其小头直径，得样本平均值overline (X)=11.2cm，已知标准差σ=2.6cm，问该批木材的平均小头直径能否认为是在12cm以上(α=0.05)?
设在木材中抽出100根，测其小头直径，得样本平均值
，已知标准差σ=2.6cm，问该批木材的平均小头直径能否认为是在12cm以上(α=0.05)?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定假设
原假设 ${H}_{0}:\mu \geqslant 12$，备择假设 ${H}_{1}:\mu \lt 12$。这里，$\mu$ 表示木材小头直径的总体平均值。
步骤 2：计算检验统计量
检验统计量 $u$ 的计算公式为 $u=\dfrac {\overline {X}-\mu }{\sigma /\sqrt {n}}$，其中 $\overline {X}$ 是样本平均值，$\mu$ 是总体平均值，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本大小。
将已知数值代入公式，得到 $u=\dfrac {11.2-12}{2.6/\sqrt {100}}=\dfrac {-0.8}{0.26}=-3.0769$。
步骤 3：确定拒绝域
对于单侧检验，当 $\alpha =0.05$ 时，拒绝域为 $u\leqslant {u}_{0.05}$。查标准正态分布表，得到 ${u}_{0.05}=-1.65$。
步骤 4：比较检验统计量与临界值
比较计算得到的检验统计量 $u=-3.0769$ 与临界值 ${u}_{0.05}=-1.65$。由于 $u=-3.0769\lt -1.65$，检验统计量落入拒绝域内。
步骤 5：做出决策
由于检验统计量落入拒绝域内，因此拒绝原假设 ${H}_{0}$，不能认为该批木材小头的平均直径不低于12cm。
原假设 ${H}_{0}:\mu \geqslant 12$，备择假设 ${H}_{1}:\mu \lt 12$。这里，$\mu$ 表示木材小头直径的总体平均值。
步骤 2：计算检验统计量
检验统计量 $u$ 的计算公式为 $u=\dfrac {\overline {X}-\mu }{\sigma /\sqrt {n}}$，其中 $\overline {X}$ 是样本平均值，$\mu$ 是总体平均值，$\sigma$ 是总体标准差，$n$ 是样本大小。
将已知数值代入公式，得到 $u=\dfrac {11.2-12}{2.6/\sqrt {100}}=\dfrac {-0.8}{0.26}=-3.0769$。
步骤 3：确定拒绝域
对于单侧检验，当 $\alpha =0.05$ 时，拒绝域为 $u\leqslant {u}_{0.05}$。查标准正态分布表，得到 ${u}_{0.05}=-1.65$。
步骤 4：比较检验统计量与临界值
比较计算得到的检验统计量 $u=-3.0769$ 与临界值 ${u}_{0.05}=-1.65$。由于 $u=-3.0769\lt -1.65$，检验统计量落入拒绝域内。
步骤 5：做出决策
由于检验统计量落入拒绝域内，因此拒绝原假设 ${H}_{0}$，不能认为该批木材小头的平均直径不低于12cm。