570 假设总体X的方差DX存在,X1,···,Xn是取自总体X的简单随机样本,其均值和方-|||-差分别为X,S^2,则EX ^2的矩估计量是-|||-(A) ^2+(overline {X)}^2. (B) (n-1)(S)^2+(overline {X)}^2 (C) (S)^2+(overline {X)}^2. (D) dfrac (n-1)(n)(S)^2+(overline {X)}^2.A、AB、BC、CD、D

考查要点：本题主要考查矩估计法的应用，特别是如何通过样本矩估计总体矩中的$E(X^2)$。

解题核心思路：
矩估计法的核心是用样本矩代替总体矩。已知总体方差$DX = E(X^2) - [E(X)]^2$，因此$E(X^2) = DX + [E(X)]^2$。

• 总体均值$E(X)$的矩估计量是样本均值$\overline{X}$。
• 总体方差$DX$的矩估计量需要根据样本方差$S^2$的定义进行调整。由于题目中$S^2$是用$(n-1)$作分母的无偏估计量，需将其转换为矩估计形式（即用$n$作分母）。

破题关键点：
将$E(X^2)$分解为$DX + [E(X)]^2$，分别用调整后的样本方差和样本均值的平方代替，最终得到矩估计量。

根据矩估计法，$E(X^2)$的矩估计量需通过样本矩构造：

1. 总体方差与二阶矩的关系
   由方差定义：
   $DX = E(X^2) - [E(X)]^2 \implies E(X^2) = DX + [E(X)]^2.$

2. 样本矩的替代

   • 总体均值$E(X)$的矩估计量为样本均值$\overline{X}$，即$\hat{E}(X) = \overline{X}$。
   • 总体方差$DX$的矩估计量需用样本方差$S^2$调整。题目中$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$是无偏估计量，但矩估计法要求用样本二阶原点矩$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2$。
     通过公式转换：
     $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2 = \frac{n-1}{n}S^2 + \overline{X}^2.$
     因此，$DX$的矩估计量为$\frac{n-1}{n}S^2$。

3. 组合结果
   将$E(X^2)$的表达式代入矩估计量：
   $\hat{E}(X^2) = \frac{n-1}{n}S^2 + \overline{X}^2.$