题目
为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表： 男学生 女学生 合计 喜欢运动 40 20 60 不喜欢运动 20 20 40 合计 60 40 100 （1）依据α=0.1的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？（2）按学生的性别以及是否喜欢运动用分层随机抽样的方法从这100名学生中选取10人，再从这10人中任选2人，求至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率．附：(χ)^2=(n(（ad-bc）)^2)/(（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）)，其中n=a+b+c+d． α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635
为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：
（1）依据α=0.1的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？
（2）按学生的性别以及是否喜欢运动用分层随机抽样的方法从这100名学生中选取10人，再从这10人中任选2人，求至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率．
附：${χ}^{2}=\frac{n{（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
| 男学生 | 女学生 | 合计 | |
| 喜欢运动 | 40 | 20 | 60 |
| 不喜欢运动 | 20 | 20 | 40 |
| 合计 | 60 | 40 | 100 |
（2）按学生的性别以及是否喜欢运动用分层随机抽样的方法从这100名学生中选取10人，再从这10人中任选2人，求至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率．
附：${χ}^{2}=\frac{n{（ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．
| α | 0.1 | 0.05 | 0.01 |
| xα | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
题目解答
答案
解：（1）零假设为H0：学生的性别与是否喜欢运动无关，
根据列联表中的数据，计算得到${χ}^{2}=\frac{100×{（40×20-20×20）}^{2}}{60×40×60×40}=\frac{25}{9}≈2.778＞2.706$，
根据α=0.1的独立性检验，我们推断H0不成立，即学生的性别与是否喜欢运动有关．
（2）由题意得选取的喜欢运动的男学生人数为$\frac{40}{100}×10=4$，则不喜欢运动的男学生、喜欢运动的女学生、不喜欢运动的女学生的人数之和为10-4=6，
则至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率为$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{1}+{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}=\frac{2}{3}$．
根据列联表中的数据，计算得到${χ}^{2}=\frac{100×{（40×20-20×20）}^{2}}{60×40×60×40}=\frac{25}{9}≈2.778＞2.706$，
根据α=0.1的独立性检验，我们推断H0不成立，即学生的性别与是否喜欢运动有关．
（2）由题意得选取的喜欢运动的男学生人数为$\frac{40}{100}×10=4$，则不喜欢运动的男学生、喜欢运动的女学生、不喜欢运动的女学生的人数之和为10-4=6，
则至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率为$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{1}+{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}=\frac{2}{3}$．
解析
步骤 1：计算卡方值
根据题目提供的数据，计算卡方值${χ}^{2}=\frac{100×{（40×20-20×20）}^{2}}{60×40×60×40}=\frac{25}{9}≈2.778$。
步骤 2：比较卡方值与临界值
将计算得到的卡方值与α=0.1的临界值2.706进行比较，发现${χ}^{2}≈2.778＞2.706$。
步骤 3：得出结论
根据α=0.1的独立性检验，我们推断H_0不成立，即学生的性别与是否喜欢运动有关。
步骤 4：计算概率
根据分层随机抽样的方法，计算喜欢运动的男学生人数为$\frac{40}{100}×10=4$，则不喜欢运动的男学生、喜欢运动的女学生、不喜欢运动的女学生的人数之和为10-4=6。
步骤 5：计算至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率
计算概率为$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{1}+{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}=\frac{2}{3}$。
根据题目提供的数据，计算卡方值${χ}^{2}=\frac{100×{（40×20-20×20）}^{2}}{60×40×60×40}=\frac{25}{9}≈2.778$。
步骤 2：比较卡方值与临界值
将计算得到的卡方值与α=0.1的临界值2.706进行比较，发现${χ}^{2}≈2.778＞2.706$。
步骤 3：得出结论
根据α=0.1的独立性检验，我们推断H_0不成立，即学生的性别与是否喜欢运动有关。
步骤 4：计算概率
根据分层随机抽样的方法，计算喜欢运动的男学生人数为$\frac{40}{100}×10=4$，则不喜欢运动的男学生、喜欢运动的女学生、不喜欢运动的女学生的人数之和为10-4=6。
步骤 5：计算至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率
计算概率为$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{1}+{C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{2}}=\frac{2}{3}$。