题目

判断题（共2题，2.0分）10.（1.0分）设总体Xsim N(mu,sigma^2)，mu,sigma^2均未知，则(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)是mu的矩估计。A 对B 错

判断题（共2题，2.0分） 10.（1.0分）设总体$X\sim N(\mu,\sigma^{2})$，$\mu,\sigma^{2}$均未知，则$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$是$\mu$的矩估计。 A 对 B 错

题目解答

答案

为了判断$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$是否是$\mu$的矩估计，我们需要理解矩估计法。矩估计法涉及使用样本矩来估计总体矩。对于正态分布$N(\mu, \sigma^2)$，总体均值$\mu$是第一个总体矩，总体方差$\sigma^2$是第二个总体矩。 样本均值$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$是总体均值$\mu$的矩估计，因为它是样本的第一个矩。同样，样本方差$S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$是总体方差$\sigma^2$的矩估计，因为它是样本的第二个矩。 在本题中，我们被问到$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$是否是$\mu$的矩估计。如上所述，样本均值$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$确实是总体均值$\mu$的矩估计。 因此，答案是$\boxed{A}$。

解析

考查要点：本题主要考查矩估计法的基本概念，特别是样本均值作为总体均值的矩估计的理解。

解题核心思路：
矩估计法的核心思想是用样本矩来估计总体矩。对于正态分布$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，总体均值$\mu$是一阶原点矩，因此其矩估计量应为样本的一阶原点矩，即样本均值。

破题关键点：
明确矩估计的定义，判断$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$是否对应总体的一阶原点矩$\mu$。

矩估计法的步骤如下：

  1. 写出总体矩的表达式：
    对于总体$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，一阶原点矩为$E(X) = \mu$，二阶原点矩为$E(X^2) = \mu^2 + \sigma^2$。
  2. 建立样本矩与总体矩的方程：
    样本的一阶原点矩为$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$，二阶原点矩为$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^2$。
  3. 解方程得到矩估计量：
    将样本一阶原点矩$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$直接作为$\mu$的估计量，因此$\hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$。

结论：题目中的$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$确实是$\mu$的矩估计，答案为A 对。