1、设随机变量(X,Y)分布律如表 3-11 所示.-|||-表 3-11-|||-Y-|||-1 2 3-|||-x-|||-1 c 1/9 a-|||-2 1/3 b 1/9-|||-(1)a,b,c为何值时X与Y相互独立?-|||-(2)写出(X,Y)的分布律与边缘分布律.

步骤 1：确定X与Y相互独立的条件
随机变量X与Y相互独立的条件是：对于所有可能的x和y，有$P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$。根据题目中的分布律，我们需要找到a、b、c的值，使得这个条件成立。

步骤 2：计算边缘分布律
首先，计算X和Y的边缘分布律。根据题目中的分布律，我们有：
- $P(X=1)=a+c+\frac{1}{9}$
- $P(X=2)=\frac{1}{3}+b+\frac{1}{9}$
- $P(X=3)=\frac{1}{9}+a$
- $P(Y=1)=c+\frac{1}{3}$
- $P(Y=2)=\frac{1}{9}+b$
- $P(Y=3)=\frac{1}{9}+a$

步骤 3：利用独立性条件求解a、b、c
根据独立性条件，我们有：
- $P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)$
- $P(X=1,Y=2)=P(X=1)P(Y=2)$
- $P(X=1,Y=3)=P(X=1)P(Y=3)$
- $P(X=2,Y=1)=P(X=2)P(Y=1)$
- $P(X=2,Y=2)=P(X=2)P(Y=2)$
- $P(X=2,Y=3)=P(X=2)P(Y=3)$
- $P(X=3,Y=1)=P(X=3)P(Y=1)$
- $P(X=3,Y=2)=P(X=3)P(Y=2)$
- $P(X=3,Y=3)=P(X=3)P(Y=3)$

通过这些等式，我们可以求解a、b、c的值。例如，从$P(X=2,Y=2)=P(X=2)P(Y=2)$，我们得到：
- $\frac{1}{9}=(\frac{1}{3}+b+\frac{1}{9})(\frac{1}{9}+b)$
- 解得$b=\frac{2}{9}$

类似地，我们可以求得$a=\frac{1}{18}$，$c=\frac{1}{6}$。