3-4 一电阻加热器(如电烙铁等)初始温度为t0,其内部突然产生热量,其功率为P。加-|||-热器外表面积A暴露在温度为tx的流体中,表面传热系数为h。如组成导热区的物体体积为-|||-V,物性值ρ、cp、λ等均为已知常量,试用集总参数法求加热器温度与时间的关系。

考查要点：本题主要考查集总参数法在有内热源的非稳态导热问题中的应用，涉及能量守恒方程的建立与求解。

解题核心思路：

1. 判断集总参数法适用条件：需验证毕渥数$Bi = \frac{hL_c}{\lambda}$是否满足$Bi \ll 1$（$L_c = V/A$为特征长度），确保物体内部温度均匀。
2. 建立能量平衡方程：单位时间能量变化等于内部产热功率减去散热损失。
3. 求解微分方程：通过积分因子法求解一阶线性常微分方程，结合初始条件确定通解。

破题关键点：

• 正确写出能量守恒方程：$\rho V c_p \frac{dt}{dt} = P - hA(t - t_\infty)$。
• 引入无因次时间常数：$B = \frac{hA}{\rho V c_p}$，简化方程形式。
• 稳态温度分析：当$t \to \infty$时，温度趋于稳态值$t_{ss} = t_\infty + \frac{P}{hA}$。

能量平衡方程的建立

加热器内部单位时间产生的热量为$P$，通过表面与流体对流散热量为$hA(t - t_\infty)$。根据能量守恒：
$\rho V c_p \frac{dt}{dt} = P - hA(t - t_\infty)$

微分方程的标准化

整理方程并引入无因次常数$B = \frac{hA}{\rho V c_p}$：
$\frac{dt}{dt} + B(t - t_\infty) = \frac{P}{\rho V c_p}$

稳态温度分析

当$\frac{dt}{dt} = 0$时，稳态温度为：
$t_{ss} = t_\infty + \frac{P}{hA}$

微分方程求解

令$\theta = t - t_{ss}$，方程化简为：
$\frac{d\theta}{dt} = -B\theta$
解得：
$\theta(t) = \theta(0)e^{-Bt}$
代入初始条件$t(0) = t_0$，得：
$t(t) - t_{ss} = (t_0 - t_{ss})e^{-Bt}$

最终表达式

将$t_{ss} = t_\infty + \frac{P}{hA}$代入，整理得：
$t(t) - t_\infty = \frac{P}{hA}(1 - e^{-Bt}) + (t_0 - t_\infty)e^{-Bt}$