题目
[题目]某批产品的次品率为0.1,连续抽取10000-|||-件,t表示其中的次品数,试用中心极限定理计算-|||- 990lt slt 1030 = __ 已知, (1)=0.8413,-|||-(2)=0.9772.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定随机变量的分布
由于次品率是固定的，且每次抽取是独立的，因此随机变量 $\xi$ 服从二项分布 $B(n, p)$，其中 $n=10000$，$p=0.1$。
步骤 2：计算期望和方差
对于二项分布 $B(n, p)$，期望 $E(\xi) = np = 10000 \times 0.1 = 1000$，方差 $Var(\xi) = np(1-p) = 10000 \times 0.1 \times 0.9 = 900$，标准差 $\sigma = \sqrt{900} = 30$。
步骤 3：应用中心极限定理
当 $n$ 很大时，二项分布可以近似为正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu = 1000$，$\sigma = 30$。因此，$P\{ 970\lt \xi \lt 1030\}$ 可以近似为 $P\{ \frac{970-1000}{30} \lt \frac{\xi - 1000}{30} \lt \frac{1030-1000}{30} \}$，即 $P\{ -1 \lt Z \lt 1 \}$，其中 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
步骤 4：计算概率
$P\{ -1 \lt Z \lt 1 \} = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 = 2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826$。
由于次品率是固定的，且每次抽取是独立的，因此随机变量 $\xi$ 服从二项分布 $B(n, p)$，其中 $n=10000$，$p=0.1$。
步骤 2：计算期望和方差
对于二项分布 $B(n, p)$，期望 $E(\xi) = np = 10000 \times 0.1 = 1000$，方差 $Var(\xi) = np(1-p) = 10000 \times 0.1 \times 0.9 = 900$，标准差 $\sigma = \sqrt{900} = 30$。
步骤 3：应用中心极限定理
当 $n$ 很大时，二项分布可以近似为正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu = 1000$，$\sigma = 30$。因此，$P\{ 970\lt \xi \lt 1030\}$ 可以近似为 $P\{ \frac{970-1000}{30} \lt \frac{\xi - 1000}{30} \lt \frac{1030-1000}{30} \}$，即 $P\{ -1 \lt Z \lt 1 \}$，其中 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0, 1)$。
步骤 4：计算概率
$P\{ -1 \lt Z \lt 1 \} = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1) - 1 = 2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826$。