题目
25.某人下午5:00下班,他所积累的资料表明:到家时间 :35sim 5:39 ..:40sim 5:44 :45sim 5:49 :50sim 5:54 迟于5:54-|||-乘地铁的概率 0.10 0.25 0.45 0.15 0.05-|||-乘汽车的概率 0.30 0.35 0.20 0.10 0.05某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车,结果他是5:47到家的.试求他乘地铁回家的概率.
25.某人下午5:00下班,他所积累的资料表明:
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车,结果他是5:47到家的.试求他乘地铁回家的概率.
题目解答
答案
记事件
表示：“乘地铁回家”，事件
表示：“乘汽车回家”，事件
表示：“5:47回家“；
则由图：
又由于他是抛硬币决定回家方式，因此：
再由贝叶斯公式，得：
∴
即他5:47回家的情况下乘地铁的概率为
。
解析
步骤 1：定义事件
定义事件A为“乘地铁回家”，事件B为“乘汽车回家”，事件C为“5:47到家”。
步骤 2：计算条件概率
根据题目给出的数据，可以得到：
- $P(C|A)=0.45$，即乘地铁回家且5:47到家的概率。
- $P(C|B)=0.20$，即乘汽车回家且5:47到家的概率。
步骤 3：计算先验概率
由于他是抛硬币决定回家方式，因此：
- $P(A)=\dfrac {1}{2}$，即乘地铁回家的概率。
- $P(B)=\dfrac {1}{2}$，即乘汽车回家的概率。
步骤 4：应用贝叶斯公式
根据贝叶斯公式，可以计算出乘地铁回家且5:47到家的条件概率：
- $P(A|C)=\dfrac {P(C|A)P(A)}{P(C)}$
- $P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)$
步骤 5：计算最终概率
将步骤2和步骤3中的值代入步骤4中的公式，可以得到：
- $P(A|C)=\dfrac {0.45\times \dfrac {1}{2}}{0.45\times \dfrac {1}{2}+0.20\times \dfrac {1}{2}}=\dfrac {9}{13}$
定义事件A为“乘地铁回家”，事件B为“乘汽车回家”，事件C为“5:47到家”。
步骤 2：计算条件概率
根据题目给出的数据，可以得到：
- $P(C|A)=0.45$，即乘地铁回家且5:47到家的概率。
- $P(C|B)=0.20$，即乘汽车回家且5:47到家的概率。
步骤 3：计算先验概率
由于他是抛硬币决定回家方式，因此：
- $P(A)=\dfrac {1}{2}$，即乘地铁回家的概率。
- $P(B)=\dfrac {1}{2}$，即乘汽车回家的概率。
步骤 4：应用贝叶斯公式
根据贝叶斯公式，可以计算出乘地铁回家且5:47到家的条件概率：
- $P(A|C)=\dfrac {P(C|A)P(A)}{P(C)}$
- $P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|B)P(B)$
步骤 5：计算最终概率
将步骤2和步骤3中的值代入步骤4中的公式，可以得到：
- $P(A|C)=\dfrac {0.45\times \dfrac {1}{2}}{0.45\times \dfrac {1}{2}+0.20\times \dfrac {1}{2}}=\dfrac {9}{13}$