题目
一台车床加工标准直径为20mm的零件．在第一天和第二天生产的零件中分别抽取了8个零件，对其直径（单位：mm）进行检测，测得数据如下：第一天：19.9，19.7，19.8，20.0，20.2，20.1，20.0，20.2；第二天：19.7，19.8，20.0，20.3，19.7，20.2，19.9，20.3；（1）分别计算两组数据的平均数和方差．（可以使用计算器）（2）根据方差的大小判断车床的工作状况是否有变化．一台车床加工标准直径为20mm的零件．在第一天和第二天生产的零件中分别抽取了8个零件，对其直径（单位：mm）进行检测，测得数据如下：第一天：19.9，19.7，19.8，20.0，20.2，20.1，20.0，20.2；第二天：19.7，19.8，20.0，20.3，19.7，20.2，19.9，20.3；（1）分别计算两组数据的平均数和方差．（可以使用计算器）（2）根据方差的大小判断车床的工作状况是否有变化．
一台车床加工标准直径为20mm的零件．在第一天和第二天生产的零件中分别抽取了8个零件，对其直径（单位：mm）进行检测，测得数据如下：
第一天：19.9，19.7，19.8，20.0，20.2，20.1，20.0，20.2；
第二天：19.7，19.8，20.0，20.3，19.7，20.2，19.9，20.3；
（1）分别计算两组数据的平均数和方差．（可以使用计算器）
（2）根据方差的大小判断车床的工作状况是否有变化．
一台车床加工标准直径为20mm的零件．在第一天和第二天生产的零件中分别抽取了8个零件，对其直径（单位：mm）进行检测，测得数据如下：
第一天：19.9，19.7，19.8，20.0，20.2，20.1，20.0，20.2；
第二天：19.7，19.8，20.0，20.3，19.7，20.2，19.9，20.3；
（1）分别计算两组数据的平均数和方差．（可以使用计算器）
（2）根据方差的大小判断车床的工作状况是否有变化．
第一天：19.9，19.7，19.8，20.0，20.2，20.1，20.0，20.2；
第二天：19.7，19.8，20.0，20.3，19.7，20.2，19.9，20.3；
（1）分别计算两组数据的平均数和方差．（可以使用计算器）
（2）根据方差的大小判断车床的工作状况是否有变化．
一台车床加工标准直径为20mm的零件．在第一天和第二天生产的零件中分别抽取了8个零件，对其直径（单位：mm）进行检测，测得数据如下：
第一天：19.9，19.7，19.8，20.0，20.2，20.1，20.0，20.2；
第二天：19.7，19.8，20.0，20.3，19.7，20.2，19.9，20.3；
（1）分别计算两组数据的平均数和方差．（可以使用计算器）
（2）根据方差的大小判断车床的工作状况是否有变化．
题目解答
答案
解：（1）第一天生产的零件的直径的平均数为$\frac{1}{8}$（19.9+19.7+19.8+20.0+20.2+20.1+20.0+20.2）≈20.0（mm）；
第一天生产的零件的方差为$\frac{1}{8}$[（19.9-20.0）2+（19.7-20.0）2+（19.8-20.0）2+（20.0-20.0）2+（20.2-20.0）2+（20.1-20.0）2+（20.0-20.0）2+（20.2-20.0）2]≈0.029；
第二天生产的零件的直径的平均数为$\frac{1}{8}$（19.7+19.8+20.0+20.3+19.7+20.2+19.9+20.3）≈20.0（mm）；
第二天生产的零件的方差为$\frac{1}{8}$[（19.7-20.0）2+（19.8-20.0）2+（20.0-20.0）2+（20.3-20.0）2+（19.7-20.0）2+（20.2-20.0）2+（19.9-20.0）2+（20.3-20.0）2]≈0.056；
（2）∵0.029＜0.056，
即第一天生产的零件的方差小于第二天生产的零件的方差，
∴车床第一天的工作比第二天稳定．
解：（1）第一天生产的零件的直径的平均数为$\frac{1}{8}$（19.9+19.7+19.8+20.0+20.2+20.1+20.0+20.2）≈20.0（mm）；
第一天生产的零件的方差为$\frac{1}{8}$[（19.9-20.0）2+（19.7-20.0）2+（19.8-20.0）2+（20.0-20.0）2+（20.2-20.0）2+（20.1-20.0）2+（20.0-20.0）2+（20.2-20.0）2]≈0.029；
第二天生产的零件的直径的平均数为$\frac{1}{8}$（19.7+19.8+20.0+20.3+19.7+20.2+19.9+20.3）≈20.0（mm）；
第二天生产的零件的方差为$\frac{1}{8}$[（19.7-20.0）2+（19.8-20.0）2+（20.0-20.0）2+（20.3-20.0）2+（19.7-20.0）2+（20.2-20.0）2+（19.9-20.0）2+（20.3-20.0）2]≈0.056；
（2）∵0.029＜0.056，
即第一天生产的零件的方差小于第二天生产的零件的方差，
∴车床第一天的工作比第二天稳定．
第一天生产的零件的方差为$\frac{1}{8}$[（19.9-20.0）2+（19.7-20.0）2+（19.8-20.0）2+（20.0-20.0）2+（20.2-20.0）2+（20.1-20.0）2+（20.0-20.0）2+（20.2-20.0）2]≈0.029；
第二天生产的零件的直径的平均数为$\frac{1}{8}$（19.7+19.8+20.0+20.3+19.7+20.2+19.9+20.3）≈20.0（mm）；
第二天生产的零件的方差为$\frac{1}{8}$[（19.7-20.0）2+（19.8-20.0）2+（20.0-20.0）2+（20.3-20.0）2+（19.7-20.0）2+（20.2-20.0）2+（19.9-20.0）2+（20.3-20.0）2]≈0.056；
（2）∵0.029＜0.056，
即第一天生产的零件的方差小于第二天生产的零件的方差，
∴车床第一天的工作比第二天稳定．
解：（1）第一天生产的零件的直径的平均数为$\frac{1}{8}$（19.9+19.7+19.8+20.0+20.2+20.1+20.0+20.2）≈20.0（mm）；
第一天生产的零件的方差为$\frac{1}{8}$[（19.9-20.0）2+（19.7-20.0）2+（19.8-20.0）2+（20.0-20.0）2+（20.2-20.0）2+（20.1-20.0）2+（20.0-20.0）2+（20.2-20.0）2]≈0.029；
第二天生产的零件的直径的平均数为$\frac{1}{8}$（19.7+19.8+20.0+20.3+19.7+20.2+19.9+20.3）≈20.0（mm）；
第二天生产的零件的方差为$\frac{1}{8}$[（19.7-20.0）2+（19.8-20.0）2+（20.0-20.0）2+（20.3-20.0）2+（19.7-20.0）2+（20.2-20.0）2+（19.9-20.0）2+（20.3-20.0）2]≈0.056；
（2）∵0.029＜0.056，
即第一天生产的零件的方差小于第二天生产的零件的方差，
∴车床第一天的工作比第二天稳定．
解析
考查要点：本题主要考查平均数和方差的计算，以及利用方差分析数据稳定性的能力。
解题思路：
- 平均数反映数据的集中趋势，计算时将所有数据相加后除以数量。
- 方差反映数据的离散程度，计算时需先求平均数，再计算每个数据与平均数的差的平方的平均值。
- 方差越小，说明数据越稳定；反之，方差越大，数据波动性越强。通过比较两组数据的方差，可判断车床工作稳定性的变化。
第（1）题
第一天数据
平均数：
$\bar{x}_1 = \frac{1}{8}(19.9 + 19.7 + 19.8 + 20.0 + 20.2 + 20.1 + 20.0 + 20.2) \approx 20.0 \, \text{mm}$
方差：
$s_1^2 = \frac{1}{8}\left[(19.9-20.0)^2 + (19.7-20.0)^2 + \cdots + (20.2-20.0)^2\right] \approx 0.029$
第二天数据
平均数：
$\bar{x}_2 = \frac{1}{8}(19.7 + 19.8 + 20.0 + 20.3 + 19.7 + 20.2 + 19.9 + 20.3) \approx 20.0 \, \text{mm}$
方差：
$s_2^2 = \frac{1}{8}\left[(19.7-20.0)^2 + (19.8-20.0)^2 + \cdots + (20.3-20.0)^2\right] \approx 0.056$
第（2）题
方差比较：
第一天方差 $0.029$ 小于第二天方差 $0.056$，说明第一天生产更稳定，车床工作状况在第二天有所变化。