题目

1.22 假设X总体服从参数为λ的泊松分布，X_(1),X_(2),...,X_(n)是来自总体X的简单随机样本，其均值为X，样本方差S^2=(1)/(n-1)sum_(i=1)^n(X_(i)-bar(X))^2。已知hat(lambda)=aX+(2-3a)S^2为λ的无偏估计，则a=（）bigcirc(1)/(8)bigcirc(1)/(2)bigcirc(1)/(6)

1.22 假设X总体服从参数为λ的泊松分布，$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$是来自总体X的简单随机样本，其均值为X，样本方差$S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}$。已知$\hat{\lambda}=aX+(2-3a)S^{2}$为λ的无偏估计，则a=（） $\bigcirc\frac{1}{8}$ $\bigcirc\frac{1}{2}$ $\bigcirc\frac{1}{6}$

题目解答

答案

已知 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，样本均值 $\bar{X}$ 和样本方差 $S^2$ 的期望值均为 $\lambda$。估计量 $\hat{\lambda} = a\bar{X} + (2-3a)S^2$ 的期望值为： \[ \mathbb{E}[\hat{\lambda}] = a\lambda + (2-3a)\lambda = \lambda(2-2a) \] 为使 $\hat{\lambda}$ 无偏，应有 $\mathbb{E}[\hat{\lambda}] = \lambda$，即： \[ \lambda(2-2a) = \lambda \implies 2-2a = 1 \implies a = \frac{1}{2} \] **答案：** $\boxed{B}$

解析

考查要点：本题主要考查无偏估计的概念及泊松分布的性质，需要结合样本均值和样本方差的期望进行计算。

解题核心思路：

  1. 泊松分布的性质：总体均值和方差均为$\lambda$，即$E(X_i) = \lambda$，$D(X_i) = \lambda$。
  2. 样本均值与方差的期望：样本均值$\bar{X}$的期望为$\lambda$，样本方差$S^2$（除以$n-1$）的期望也为$\lambda$。
  3. 无偏估计的条件：估计量$\hat{\lambda}$的期望等于$\lambda$，即$E[\hat{\lambda}] = \lambda$。

破题关键点：将$\hat{\lambda} = a\bar{X} + (2-3a)S^2$代入无偏条件，利用$\bar{X}$和$S^2$的期望均为$\lambda$，解方程求$a$。

  1. 计算$\hat{\lambda}$的期望：
    $E[\hat{\lambda}] = E\left[a\bar{X} + (2-3a)S^2\right] = aE[\bar{X}] + (2-3a)E[S^2]$
    根据泊松分布的性质，$E[\bar{X}] = \lambda$，$E[S^2] = \lambda$，代入得：
    $E[\hat{\lambda}] = a\lambda + (2-3a)\lambda = \lambda(2-2a)$

  2. 无偏条件：
    要求$E[\hat{\lambda}] = \lambda$，即：
    $\lambda(2-2a) = \lambda$
    消去$\lambda$（假设$\lambda \neq 0$）得：
    $2-2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$