设随机变量 backsim N(3,(2)^2), 求 -3leqslant Xleqslant 5 |X|geqslant 2

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化变换及标准正态分布表的使用，以及绝对值概率的处理方法。

解题核心思路：

1. 标准化变换：将给定的正态分布变量转化为标准正态变量 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，利用标准正态分布表查概率。
2. 区间概率计算：通过标准正态分布的累积概率差求解区间概率。
3. 绝对值概率拆分：将 $P\{|X| \geq 2\}$ 拆分为 $P\{X \geq 2\} + P\{X \leq -2\}$，分别计算后相加。

破题关键点：

• 正确计算标准化后的 $Z$ 值，确定对应的区间范围。
• 熟练使用标准正态分布表，注意区分不同 $Z$ 值对应的累积概率。
• 灵活处理绝对值概率，选择直接拆分或补集法简化计算。

第（1）题：$P\{-3 \leq X \leq 5\}$

标准化变换

将 $X$ 标准化为 $Z = \frac{X - 3}{2}$：

• 当 $X = -3$ 时，$Z = \frac{-3 - 3}{2} = -3$；
• 当 $X = 5$ 时，$Z = \frac{5 - 3}{2} = 1$。

查标准正态分布表

• $P\{Z \leq 1\} = \Phi(1) \approx 0.8413$；
• $P\{Z \leq -3\} = \Phi(-3) \approx 0.0013$。

计算区间概率

$P\{-3 \leq X \leq 5\} = \Phi(1) - \Phi(-3) = 0.8413 - 0.0013 = 0.84.$

第（2）题：$P\{|X| \geq 2\}$

拆分绝对值概率

$P\{|X| \geq 2\} = P\{X \geq 2\} + P\{X \leq -2\}.$

计算 $P\{X \geq 2\}$

• 标准化：$Z = \frac{2 - 3}{2} = -0.5$；
• $P\{X \geq 2\} = 1 - \Phi(-0.5) = 1 - 0.3085 = 0.6915$。

计算 $P\{X \leq -2\}$

• 标准化：$Z = \frac{-2 - 3}{2} = -2.5$；
• $P\{X \leq -2\} = \Phi(-2.5) \approx 0.0062$。

合并结果

$P\{|X| \geq 2\} = 0.6915 + 0.0062 = 0.6977.$