【题目】已知实心圆轴的转速n=300r/min,传递的功率P=330kW,轴材料的许用切应力[]=60MPa,切变模量G=80GPa。若要求在2m长度的相对扭转角不超过1°,试求该轴的所需直径。

考查要点：本题综合考查圆轴的强度条件和刚度条件，需要同时满足许用切应力和相对扭转角的要求。

解题核心思路：

1. 计算外力偶矩：利用功率公式 $P = \frac{2\pi n M}{60}$，求出传递的外力偶矩 $M$。
2. 强度条件：根据最大切应力公式 $\tau = \frac{16M}{\pi d^3}$，求出满足强度的最小直径 $d_1$。
3. 刚度条件：根据相对扭转角公式 $\phi = \frac{32ML}{G\pi d^4}$，求出满足刚度的最小直径 $d_2$。
4. 综合判断：取 $d_1$ 和 $d_2$ 中的较大值，确保同时满足强度和刚度。

破题关键点：

• 单位统一：注意功率、转速、切应力等单位的换算。
• 公式变形：正确应用强度和刚度公式，解出直径表达式。
• 角度转换：将相对扭转角的限制条件从角度转换为弧度。

1. 计算外力偶矩 $M$

根据功率公式：
$P = \frac{2\pi n M}{60} \implies M = \frac{60P}{2\pi n}$
代入 $P = 330\ \text{kW} = 330 \times 10^3\ \text{W}$，$n = 300\ \text{r/min}$：
$M = \frac{60 \times 330 \times 10^3}{2 \times \pi \times 300} \approx 10.5\ \text{kN·m}$

2. 强度条件求直径 $d_1$

最大切应力公式：
$\tau = \frac{16M}{\pi d_1^3} \leq [\tau]$
代入 $M = 10.5 \times 10^3\ \text{N·m}$，$[\tau] = 60\ \text{MPa} = 60 \times 10^6\ \text{Pa}$：
$d_1^3 \geq \frac{16 \times 10.5 \times 10^3}{\pi \times 60 \times 10^6} \implies d_1 \approx 0.096\ \text{m} = 96\ \text{mm}$

3. 刚度条件求直径 $d_2$

相对扭转角公式（转换为弧度）：
$\phi = \frac{32ML}{G\pi d_2^4} \leq 1^\circ = \frac{\pi}{180}\ \text{弧度}$
代入 $L = 2\ \text{m}$，$G = 80\ \text{GPa} = 80 \times 10^9\ \text{Pa}$：
$d_2^4 \geq \frac{32 \times 10.5 \times 10^3 \times 2 \times 180}{\pi \times 80 \times 10^9} \implies d_2 \approx 0.1113\ \text{m} = 111.3\ \text{mm}$

4. 综合判断

取 $d = \max(96\ \text{mm}, 111.3\ \text{mm}) = 111.3\ \text{mm}$。