题目
2 由正态总体N(100,4)抽取二个独立样本,样本均值分别为x,y,样本容量分别为15,20,试求 (5.0分)-|||- |overline {x)-overline (y)|gt 0.2} ,
题目解答
答案
【答案】
0.7718
【解析】
$\because $X,Y是两个独立的样本
$\therefore $$\overline{X}\backsim N\left(100,\dfrac{4}{15}\right)$,$\overline{Y}\backsim N\left(100,\dfrac{4}{20}\right)$
$\therefore $$\overline{X}-\overline{Y}\backsim N\left(0,\dfrac{7}{15}\right)$
$\therefore $$P\left\{|\overline{x}-\overline{y}|\gt 0.2\right\}=P\left\{\dfrac{|\overline{x}-\overline{y}|}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\gt \dfrac{0.2}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\right\}=1-P\left\{\dfrac{|\overline{x}-\overline{y}|}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\lt \dfrac{0.2}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\right\}=2\left(1-\Phi \left(\dfrac{0.2}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\right)\right)=2\left(1-0.6141\right)=0.7718$故答案为：0.7718.
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
由于样本是从正态总体N(100,4)中抽取的，根据中心极限定理，样本均值$\overline{X}$和$\overline{Y}$也服从正态分布。具体来说，$\overline{X}\backsim N\left(100,\dfrac{4}{15}\right)$，$\overline{Y}\backsim N\left(100,\dfrac{4}{20}\right)$。
步骤 2：确定$\overline{X}-\overline{Y}$的分布
由于$\overline{X}$和$\overline{Y}$是独立的，$\overline{X}-\overline{Y}$的分布为$N\left(0,\dfrac{4}{15}+\dfrac{4}{20}\right)$，即$N\left(0,\dfrac{7}{15}\right)$。
步骤 3：计算概率$P\{ |\overline {x}-\overline {y}|\gt 0.2\}$
根据正态分布的性质，$P\left\{|\overline{x}-\overline{y}|\gt 0.2\right\}=P\left\{\dfrac{|\overline{x}-\overline{y}|}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\gt \dfrac{0.2}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\right\}=1-P\left\{\dfrac{|\overline{x}-\overline{y}|}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\lt \dfrac{0.2}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\right\}=2\left(1-\Phi \left(\dfrac{0.2}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\right)\right)$，其中$\Phi$是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 4：计算$\Phi \left(\dfrac{0.2}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\right)$
查标准正态分布表或使用计算器，得到$\Phi \left(\dfrac{0.2}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\right)\approx 0.6141$。
步骤 5：计算最终概率
$P\{ |\overline {x}-\overline {y}|\gt 0.2\} = 2\left(1-0.6141\right)=0.7718$。
由于样本是从正态总体N(100,4)中抽取的，根据中心极限定理，样本均值$\overline{X}$和$\overline{Y}$也服从正态分布。具体来说，$\overline{X}\backsim N\left(100,\dfrac{4}{15}\right)$，$\overline{Y}\backsim N\left(100,\dfrac{4}{20}\right)$。
步骤 2：确定$\overline{X}-\overline{Y}$的分布
由于$\overline{X}$和$\overline{Y}$是独立的，$\overline{X}-\overline{Y}$的分布为$N\left(0,\dfrac{4}{15}+\dfrac{4}{20}\right)$，即$N\left(0,\dfrac{7}{15}\right)$。
步骤 3：计算概率$P\{ |\overline {x}-\overline {y}|\gt 0.2\}$
根据正态分布的性质，$P\left\{|\overline{x}-\overline{y}|\gt 0.2\right\}=P\left\{\dfrac{|\overline{x}-\overline{y}|}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\gt \dfrac{0.2}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\right\}=1-P\left\{\dfrac{|\overline{x}-\overline{y}|}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\lt \dfrac{0.2}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\right\}=2\left(1-\Phi \left(\dfrac{0.2}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\right)\right)$，其中$\Phi$是标准正态分布的累积分布函数。
步骤 4：计算$\Phi \left(\dfrac{0.2}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\right)$
查标准正态分布表或使用计算器，得到$\Phi \left(\dfrac{0.2}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\right)\approx 0.6141$。
步骤 5：计算最终概率
$P\{ |\overline {x}-\overline {y}|\gt 0.2\} = 2\left(1-0.6141\right)=0.7718$。