2 由正态总体N(100,4)抽取二个独立样本,样本均值分别为x,y,样本容量分别为15,20,试求 (5.0分)-|||- |overline {x)-overline (y)|gt 0.2} ,

考查要点：本题主要考查正态总体下样本均值的分布性质、独立正态变量之差的分布，以及标准正态分布的概率计算。

解题核心思路：

1. 确定样本均值的分布：根据正态总体的性质，样本均值$\overline{X}$和$\overline{Y}$分别服从正态分布$N\left(100, \dfrac{4}{15}\right)$和$N\left(100, \dfrac{4}{20}\right)$。
2. 求差值的分布：由于独立性，$\overline{X} - \overline{Y}$服从正态分布$N\left(0, \dfrac{7}{15}\right)$。
3. 标准化处理：将$|\overline{X} - \overline{Y}| > 0.2$转化为标准正态变量$Z$的形式，利用标准正态分布表计算概率。

破题关键点：

• 方差的正确计算：独立变量之差的方差为各自方差之和。
• 标准化转换：通过除以标准差将非标准正态变量转化为标准正态变量。
• 对称性应用：利用绝对值概率的对称性简化计算。

步骤1：确定样本均值的分布

• $\overline{X} \sim N\left(100, \dfrac{4}{15}\right)$，$\overline{Y} \sim N\left(100, \dfrac{4}{20}\right)$。

步骤2：求$\overline{X} - \overline{Y}$的分布

• 期望：$E(\overline{X} - \overline{Y}) = 100 - 100 = 0$。
• 方差：$\text{Var}(\overline{X} - \overline{Y}) = \dfrac{4}{15} + \dfrac{4}{20} = \dfrac{7}{15}$。
• 因此，$\overline{X} - \overline{Y} \sim N\left(0, \dfrac{7}{15}\right)$。

步骤3：标准化处理

• 设$Z = \dfrac{\overline{X} - \overline{Y} - 0}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}$，则$Z \sim N(0,1)$。
• 原概率转化为：
  $P\left\{|\overline{X} - \overline{Y}| > 0.2\right\} = P\left\{\left|\dfrac{\overline{X} - \overline{Y}}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\right| > \dfrac{0.2}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\right\} = P\left\{|Z| > \dfrac{0.2}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}}\right\}.$

步骤4：计算临界值

• 计算分母$\sqrt{\dfrac{7}{15}} \approx 0.683$，得临界值：
  $\dfrac{0.2}{\sqrt{\dfrac{7}{15}}} \approx \dfrac{0.2}{0.683} \approx 0.2925.$

步骤5：查标准正态分布表

• $P\{Z < 0.2925\} \approx \Phi(0.29) = 0.6141$（四舍五入取表值）。
• 利用对称性：
  $P\{|Z| > 0.2925\} = 2\left(1 - \Phi(0.29)\right) = 2(1 - 0.6141) = 0.7718.$