连杆运动!在图示机构中,杆AB绕A轴转动,带动CD杆作水平运动,且CD杆上的销钉M在AB杆的槽中滑动.当图示位置φ＝30°时,AB杆的角速度为ω,试求在该位置杆CD的B-|||-M D-|||-/-|||-、 h-|||-φ-|||-A速度及销钉相对AB杆的速度及加速度.

本题主要考查点的合成运动相关知识，解题的关键在于正确选取动点、动系和定系，然后根据速度合成定理和加速度合成定理来求解杆$CD$的速度、销钉相对$AB$杆的速度及加速度。

1. 速度分析
   • 选取$CD$杆上的销钉$M$为动点，$AB$杆为动系，地面为定系。
   • 根据速度合成定理，动点的绝对速度$\vec{v}_a$等于牵连速度$\vec{v}_e$与相对速度$\vec{v}_r$的矢量和，即$\vec{v}_a = \vec{v}_e+\vec{v}_r$。
   • 因为$CD$杆作水平运动，所以销钉$M$的绝对速度$\vec{v}_a$方向水平，大小等于$CD$杆的速度$v$；牵连速度$\vec{v}_e$是动系$AB$杆上与动点$M$重合点的速度，其大小为$v_e=\omega h$，方向垂直于$AB$杆；相对速度$\vec{v}_r$是销钉$M$相对于$AB$杆的速度，方向沿$AB$杆的槽。
   • 由速度合成的矢量图可知，$v = \frac{v_e}{\cos\varphi}$，将$v_e=\omega h$代入可得$v=\frac{\omega h}{\cos\varphi}$。当$\varphi = 30^{\circ}$时，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$v=\frac{\omega h}{\cos30^{\circ}}=\frac{\omega h}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\omega h}{\sqrt{3}}=\frac{4\omega h}{3}$。
   • 又因为$v_r = v\tan\varphi$，当$\varphi = 30^{\circ}$时，$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$v=\frac{4\omega h}{3}$，所以$v_r=\frac{4\omega h}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\omega h}{3}$。
2. 加速度分析
   • 根据牵连运动是定轴转动的加速度合成定理，动点的绝对加速度$\vec{a}_a$等于牵连加速度$\vec{a}_e$、相对加速度$\vec{a}_r$与科氏加速度$\vec{a}_k$的矢量和，即$\vec{a}_a=\vec{a}_e+\vec{a}_r+\vec{a}_k$。其中牵连加速度$\vec{a}_e$可分解为切向加速度$\vec{a}_{et}$和法向加速度$\vec{a}_{en}$，$\vec{a}_e=\vec{a}_{et}+\vec{a}_{en}$，所以$\vec{a}_a=\vec{a}_{et}+\vec{a}_{en}+\vec{a}_r+\vec{a}_k$。
   • 因为$AB$杆的角速度$\omega$为常量，所以$AB$杆的角加速度$\varepsilon = 0$，则牵连加速度的切向加速度$a_{et}=\varepsilon h = 0$。
   • 牵连加速度的法向加速度$a_{en}=\omega^2h$，方向由$M$指向$A$；科氏加速度$a_k = 2\omega v_r$，方向垂直于$AB$杆。
   • 建立$xOy$坐标系，将各加速度矢量向$y$轴投影可得：$a\sin\varphi=a_r - a_{en}$ ①；向$x$轴投影可得：$a\cos\varphi=a_{et}+a_k$ ②。
   • 由②式，因为$a_{et}=0$，$a_k = 2\omega v_r$，$v_r=\frac{2\omega h}{3}$，所以$a\cos\varphi=2\omega\times\frac{2\omega h}{3}=\frac{4\omega^2h}{3}$，则$a=\frac{4\omega^2h}{3\cos\varphi}$。当$\varphi = 30^{\circ}$时，$\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$a=\frac{4\omega^2h}{3\times\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8\omega^2h}{3\sqrt{3}}=\frac{2\omega^2h\sin\varphi}{\cos^3\varphi}$。
   • 将$a=\frac{2\omega^2h\sin\varphi}{\cos^3\varphi}$，$a_{en}=\omega^2h$代入①式可得：$a_r=a\sin\varphi + a_{en}=\frac{2\omega^2h\sin\varphi}{\cos^3\varphi}\times\sin\varphi+\omega^2h=\frac{2\omega^2h\sin^2\varphi}{\cos^3\varphi}+\frac{\omega^2h\cos^2\varphi}{\cos^3\varphi}=\frac{2\omega^2h\sin^2\varphi+\omega^2h\cos^2\varphi}{\cos^3\varphi}=\frac{2\omega^2h\sin^2\varphi+\omega^2h(1 - \sin^2\varphi)}{\cos^3\varphi}=\frac{2\omega^2h\sin^2\varphi+\omega^2h-\omega^2h\sin^2\varphi}{\cos^3\varphi}=\frac{2\omega^2h\sin^2\varphi+\omega^2h}{\cos^3\varphi}$。