18.设随机变量X的数学期望为E(X ),方差为 (x)gt 0, 引入X的标准化-|||-随机变量-|||-=dfrac (x-E(X))(sqrt {D(X))} ,-|||-验证 E(Y)=0 (Y)=1.

考查要点：本题主要考查数学期望和方差的性质，以及如何通过线性变换对随机变量进行标准化处理。

解题核心思路：

1. 标准化随机变量的构造目的是消除量纲，使其均值为0，方差为1。
2. 利用期望的线性性质计算$E(Y)$，即$E(aX + b) = aE(X) + b$。
3. 利用方差的性质计算$D(Y)$，即$D(aX + b) = a^2D(X)$，其中常数项$b$对方差无影响。

破题关键点：

• 拆分线性变换：将$Y$表示为$\frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}}$，分解为系数$\frac{1}{\sqrt{D(X)}}$和常数项$-\frac{E(X)}{\sqrt{D(X)}}$。
• 期望与方差的独立性：期望计算时，常数项会被抵消；方差计算时，常数项不影响结果。

验证$E(Y) = 0$

展开期望表达式

根据$Y$的定义：
$E(Y) = E\left( \frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}} \right) = \frac{1}{\sqrt{D(X)}} E(X - E(X)).$

利用期望的线性性质

$E(X - E(X)) = E(X) - E(E(X)) = E(X) - E(X) = 0.$

结论

$E(Y) = \frac{1}{\sqrt{D(X)}} \cdot 0 = 0.$

验证$D(Y) = 1$

展开方差表达式

根据$Y$的定义：
$D(Y) = D\left( \frac{X - E(X)}{\sqrt{D(X)}} \right) = \left( \frac{1}{\sqrt{D(X)}} \right)^2 D(X - E(X)).$

利用方差的性质

$D(X - E(X)) = D(X) \quad (\text{常数项对方差无影响}).$

代入计算

$D(Y) = \frac{1}{D(X)} \cdot D(X) = 1.$