题目
2.由正态总体N(20,3)分别得到容量为10和15的独立样本，求其样本均值差的绝对值大于0.3的概率.
2.由正态总体N(20,3)分别得到容量为10和15的独立样本，求其样本均值差的绝对值大于0.3的概率.
题目解答
答案
设两个样本均值分别为 $\overline{X}_1$ 和 $\overline{X}_2$，则
\[
\overline{X}_1 \sim N\left(20, \frac{3}{10}\right), \quad \overline{X}_2 \sim N\left(20, \frac{3}{15}\right)
\]
样本均值差 $\overline{X}_1 - \overline{X}_2$ 服从
\[
N\left(0, \frac{3}{10} + \frac{3}{15}\right) = N\left(0, 0.5\right)
\]
标准化得
\[
Z = \frac{\overline{X}_1 - \overline{X}_2}{\sqrt{0.5}} \sim N(0, 1)
\]
求
\[
P\left(|\overline{X}_1 - \overline{X}_2| > 0.3\right) = P\left(|Z| > \frac{0.3}{\sqrt{0.5}}\right) \approx P\left(|Z| > 0.4242\right)
\]
查表得
\[
\Phi(0.42) \approx 0.6628 \Rightarrow P(|Z| > 0.42) \approx 2 \times (1 - 0.6628) = 0.6744
\]
**答案：** $\boxed{0.6744}$
解析
步骤 1：确定样本均值的分布
根据中心极限定理，对于正态总体N(20,3)，样本均值 $\overline{X}_1$ 和 $\overline{X}_2$ 分别服从正态分布N(20, $\frac{3}{10}$) 和 N(20, $\frac{3}{15}$)。
步骤 2：计算样本均值差的分布
样本均值差 $\overline{X}_1 - \overline{X}_2$ 服从正态分布N(0, $\frac{3}{10} + \frac{3}{15}$)。计算方差和标准差：
\[ \frac{3}{10} + \frac{3}{15} = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = 0.5 \]
\[ \sigma_{\overline{X}_1 - \overline{X}_2} = \sqrt{0.5} \]
步骤 3：标准化并计算概率
标准化样本均值差，得到标准正态分布变量Z：
\[ Z = \frac{\overline{X}_1 - \overline{X}_2}{\sqrt{0.5}} \sim N(0, 1) \]
计算概率：
\[ P\left(|\overline{X}_1 - \overline{X}_2| > 0.3\right) = P\left(|Z| > \frac{0.3}{\sqrt{0.5}}\right) \approx P\left(|Z| > 0.4242\right) \]
查标准正态分布表得：
\[ \Phi(0.42) \approx 0.6628 \Rightarrow P(|Z| > 0.42) \approx 2 \times (1 - 0.6628) = 0.6744 \]
根据中心极限定理，对于正态总体N(20,3)，样本均值 $\overline{X}_1$ 和 $\overline{X}_2$ 分别服从正态分布N(20, $\frac{3}{10}$) 和 N(20, $\frac{3}{15}$)。
步骤 2：计算样本均值差的分布
样本均值差 $\overline{X}_1 - \overline{X}_2$ 服从正态分布N(0, $\frac{3}{10} + \frac{3}{15}$)。计算方差和标准差：
\[ \frac{3}{10} + \frac{3}{15} = \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = 0.5 \]
\[ \sigma_{\overline{X}_1 - \overline{X}_2} = \sqrt{0.5} \]
步骤 3：标准化并计算概率
标准化样本均值差，得到标准正态分布变量Z：
\[ Z = \frac{\overline{X}_1 - \overline{X}_2}{\sqrt{0.5}} \sim N(0, 1) \]
计算概率：
\[ P\left(|\overline{X}_1 - \overline{X}_2| > 0.3\right) = P\left(|Z| > \frac{0.3}{\sqrt{0.5}}\right) \approx P\left(|Z| > 0.4242\right) \]
查标准正态分布表得：
\[ \Phi(0.42) \approx 0.6628 \Rightarrow P(|Z| > 0.42) \approx 2 \times (1 - 0.6628) = 0.6744 \]