题目
12.设随机变量 sim N(0,(sigma )^2) ,求 =(X)^2 的分布.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 $X$ 的分布
$X$ 是一个正态分布随机变量，其均值为 $0$，方差为 ${\sigma }^{2}$，即 $X\sim N(0,{\sigma }^{2})$。
步骤 2：确定 $Y$ 的可能取值区间
$Y={X}^{2}$，由于 $X$ 可以取任意实数值，$Y$ 的可能取值区间为 $(0,+\infty)$。
步骤 3：计算 $Y$ 的分布函数
$Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 可以通过 $X$ 的分布函数 $F_X(x)$ 来计算。当 $y\leq 0$ 时，$F_Y(y)=0$。当 $y>0$ 时，$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(-\sqrt{y}\leq X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y})$。
步骤 4：计算 $Y$ 的概率密度函数
$Y$ 的概率密度函数 $p_Y(y)$ 可以通过 $F_Y(y)$ 的导数来计算。$p_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=\frac{d}{dy}[F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y})]=\frac{1}{2\sqrt{y}}[p_X(\sqrt{y})+p_X(-\sqrt{y})]$，其中 $p_X(x)$ 是 $X$ 的概率密度函数。
步骤 5：确定 $Y$ 的分布
由于 $X\sim N(0,{\sigma }^{2})$，$X$ 的概率密度函数为 $p_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi{\sigma }^{2}}}e^{-\frac{x^2}{2{\sigma }^{2}}}$。将 $p_X(x)$ 代入 $p_Y(y)$ 的表达式中，可以得到 $Y$ 的概率密度函数为 $p_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}[\frac{1}{\sqrt{2\pi{\sigma }^{2}}}e^{-\frac{y}{2{\sigma }^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{2\pi{\sigma }^{2}}}e^{-\frac{y}{2{\sigma }^{2}}}]$。化简后得到 $p_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi{\sigma }^{2}y}}e^{-\frac{y}{2{\sigma }^{2}}}$。这表明 $Y$ 的分布为伽马分布 $Ga(\frac{1}{2},\frac{1}{2{\sigma }^{2}})$。
$X$ 是一个正态分布随机变量，其均值为 $0$，方差为 ${\sigma }^{2}$，即 $X\sim N(0,{\sigma }^{2})$。
步骤 2：确定 $Y$ 的可能取值区间
$Y={X}^{2}$，由于 $X$ 可以取任意实数值，$Y$ 的可能取值区间为 $(0,+\infty)$。
步骤 3：计算 $Y$ 的分布函数
$Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 可以通过 $X$ 的分布函数 $F_X(x)$ 来计算。当 $y\leq 0$ 时，$F_Y(y)=0$。当 $y>0$ 时，$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(-\sqrt{y}\leq X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y})$。
步骤 4：计算 $Y$ 的概率密度函数
$Y$ 的概率密度函数 $p_Y(y)$ 可以通过 $F_Y(y)$ 的导数来计算。$p_Y(y)=\frac{d}{dy}F_Y(y)=\frac{d}{dy}[F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y})]=\frac{1}{2\sqrt{y}}[p_X(\sqrt{y})+p_X(-\sqrt{y})]$，其中 $p_X(x)$ 是 $X$ 的概率密度函数。
步骤 5：确定 $Y$ 的分布
由于 $X\sim N(0,{\sigma }^{2})$，$X$ 的概率密度函数为 $p_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi{\sigma }^{2}}}e^{-\frac{x^2}{2{\sigma }^{2}}}$。将 $p_X(x)$ 代入 $p_Y(y)$ 的表达式中，可以得到 $Y$ 的概率密度函数为 $p_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}[\frac{1}{\sqrt{2\pi{\sigma }^{2}}}e^{-\frac{y}{2{\sigma }^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{2\pi{\sigma }^{2}}}e^{-\frac{y}{2{\sigma }^{2}}}]$。化简后得到 $p_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi{\sigma }^{2}y}}e^{-\frac{y}{2{\sigma }^{2}}}$。这表明 $Y$ 的分布为伽马分布 $Ga(\frac{1}{2},\frac{1}{2{\sigma }^{2}})$。