10.已知某电子仪器的使用寿命服从指数分布,密度函数是-|||-f(x;λ)=λ e^(-λ)x x>0,λ>0-|||-今随机抽取14台,测得寿命数据如下(单位:小时)-|||-1812 1890 2580 17892703 1921 2054 1354-|||-1967 2324 1884 21202304 1480-|||-求λ的最大似然估计值.

步骤 1：写出似然函数
似然函数是所有观测值的联合概率密度函数，对于独立同分布的样本，似然函数是每个样本点的概率密度函数的乘积。对于指数分布，似然函数为：
\[ L(\lambda) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \lambda) = \prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_i} = \lambda^n e^{-\lambda \sum_{i=1}^{n} x_i} \]

步骤 2：对似然函数取对数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数：
\[ \ln L(\lambda) = n \ln \lambda - \lambda \sum_{i=1}^{n} x_i \]

步骤 3：求对数似然函数的导数
对对数似然函数关于参数λ求导，得到：
\[ \frac{d}{d\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i \]

步骤 4：求导数等于0的解
令导数等于0，求解λ的值：
\[ \frac{n}{\lambda} - \sum_{i=1}^{n} x_i = 0 \]
\[ \lambda = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} x_i} \]

步骤 5：计算样本均值
将样本数据代入，计算样本均值：
\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{14} (1812 + 1890 + 2580 + 1789 + 2703 + 1921 + 2054 + 1354 + 1967 + 2324 + 1884 + 2120 + 2304 + 1480) = 2013 \]

步骤 6：计算λ的最大似然估计值
将样本均值代入λ的表达式中，得到λ的最大似然估计值：
\[ \hat{\lambda} = \frac{1}{\bar{x}} = \frac{1}{2013} \]