题目
6.设总体approx N(0,(2)^2),approx N(0,(2)^2)是来自总体X的样本，则当approx N(0,(2)^2)=_,b=_时，统计量approx N(0,(2)^2)服从approx N(0,(2)^2)分布。
6.设总体
,
是来自总体X的样本，则当
=_,b=_时，统计量
服从
分布。
题目解答
答案
解：∵总体,是来自总体X的样本
∴
∴
于是
取平方和得
∴
解析
步骤 1：计算$X_1-2X_2$的期望和方差
由于$X_1$和$X_2$都是来自总体$X\sim N(0,2^2)$的样本，因此$E(X_1)=E(X_2)=0$，$D(X_1)=D(X_2)=4$。根据线性组合的期望和方差公式，我们有：
$$E(X_1-2X_2)=E(X_1)-2E(X_2)=0-2\cdot0=0$$
$$D(X_1-2X_2)=D(X_1)+(-2)^2D(X_2)=4+4\cdot4=20$$
步骤 2：计算$3X_3-4X_4$的期望和方差
同理，$E(X_3)=E(X_4)=0$，$D(X_3)=D(X_4)=4$。因此：
$$E(3X_3-4X_4)=3E(X_3)-4E(X_4)=3\cdot0-4\cdot0=0$$
$$D(3X_3-4X_4)=3^2D(X_3)+(-4)^2D(X_4)=9\cdot4+16\cdot4=100$$
步骤 3：确定$a$和$b$的值
为了使统计量$T=a(X_1-2X_2)^2+b(3X_3-4X_4)^2$服从$\chi^2$分布，我们需要将$X_1-2X_2$和$3X_3-4X_4$标准化，即：
$$\frac{X_1-2X_2}{\sqrt{20}}\sim N(0,1)$$
$$\frac{3X_3-4X_4}{10}\sim N(0,1)$$
因此，$T$可以写为：
$$T=\frac{1}{20}(X_1-2X_2)^2+\frac{1}{100}(3X_3-4X_4)^2$$
这表明$a=\frac{1}{20}$，$b=\frac{1}{100}$。
由于$X_1$和$X_2$都是来自总体$X\sim N(0,2^2)$的样本，因此$E(X_1)=E(X_2)=0$，$D(X_1)=D(X_2)=4$。根据线性组合的期望和方差公式，我们有：
$$E(X_1-2X_2)=E(X_1)-2E(X_2)=0-2\cdot0=0$$
$$D(X_1-2X_2)=D(X_1)+(-2)^2D(X_2)=4+4\cdot4=20$$
步骤 2：计算$3X_3-4X_4$的期望和方差
同理，$E(X_3)=E(X_4)=0$，$D(X_3)=D(X_4)=4$。因此：
$$E(3X_3-4X_4)=3E(X_3)-4E(X_4)=3\cdot0-4\cdot0=0$$
$$D(3X_3-4X_4)=3^2D(X_3)+(-4)^2D(X_4)=9\cdot4+16\cdot4=100$$
步骤 3：确定$a$和$b$的值
为了使统计量$T=a(X_1-2X_2)^2+b(3X_3-4X_4)^2$服从$\chi^2$分布，我们需要将$X_1-2X_2$和$3X_3-4X_4$标准化，即：
$$\frac{X_1-2X_2}{\sqrt{20}}\sim N(0,1)$$
$$\frac{3X_3-4X_4}{10}\sim N(0,1)$$
因此，$T$可以写为：
$$T=\frac{1}{20}(X_1-2X_2)^2+\frac{1}{100}(3X_3-4X_4)^2$$
这表明$a=\frac{1}{20}$，$b=\frac{1}{100}$。