题目
某保险公司每月收到保险费是随机变量ξi, ((S)_(i))=10 (万元), ((S)_(i))=1 ,试用中心极限定理确定100-|||-个月收到保险费超过1010万元的概率P(m)=1010}=-|||- sum _{i=1)^100xi :gt 1010} =( ) .-|||-(1)=0.8413 , (1.5)=0.9332 , Phi (2)=0.9772。 .
题目解答
答案
0.1587
解析
步骤 1：确定随机变量的期望和方差
题目中给出，每月收到的保险费是随机变量ξi，其期望值$E({S}_{i})=10$万元，方差$D({S}_{i})=1$。这意味着每个月收到的保险费平均为10万元，方差为1万元的平方。
步骤 2：计算100个月总保险费的期望和方差
由于每个月的保险费是独立的随机变量，100个月的总保险费可以表示为$\sum _{i=1}^{100}\xi _{i}$。根据期望和方差的性质，100个月总保险费的期望值为$E(\sum _{i=1}^{100}\xi _{i})=100\times E({S}_{i})=100\times 10=1000$万元，方差为$D(\sum _{i=1}^{100}\xi _{i})=100\times D({S}_{i})=100\times 1=100$万元的平方。
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。因此，100个月总保险费的分布可以近似为正态分布$N(1000,100)$。我们需要计算的是总保险费超过1010万元的概率，即$P\left \{ \sum _{i=1}^{100}\xi _{i} > 1010\right \}$。
步骤 4：计算概率
将问题转化为标准正态分布问题，即$P\left \{ \frac{\sum _{i=1}^{100}\xi _{i}-1000}{\sqrt{100}} > \frac{1010-1000}{\sqrt{100}}\right \} =P\left \{ Z > 1\right \}$，其中$Z$是标准正态分布的随机变量。根据题目给出的$\Phi (1)=0.8413$，可以得到$P\left \{ Z > 1\right \} =1-\Phi (1)=1-0.8413=0.1587$。
题目中给出，每月收到的保险费是随机变量ξi，其期望值$E({S}_{i})=10$万元，方差$D({S}_{i})=1$。这意味着每个月收到的保险费平均为10万元，方差为1万元的平方。
步骤 2：计算100个月总保险费的期望和方差
由于每个月的保险费是独立的随机变量，100个月的总保险费可以表示为$\sum _{i=1}^{100}\xi _{i}$。根据期望和方差的性质，100个月总保险费的期望值为$E(\sum _{i=1}^{100}\xi _{i})=100\times E({S}_{i})=100\times 10=1000$万元，方差为$D(\sum _{i=1}^{100}\xi _{i})=100\times D({S}_{i})=100\times 1=100$万元的平方。
步骤 3：应用中心极限定理
根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。因此，100个月总保险费的分布可以近似为正态分布$N(1000,100)$。我们需要计算的是总保险费超过1010万元的概率，即$P\left \{ \sum _{i=1}^{100}\xi _{i} > 1010\right \}$。
步骤 4：计算概率
将问题转化为标准正态分布问题，即$P\left \{ \frac{\sum _{i=1}^{100}\xi _{i}-1000}{\sqrt{100}} > \frac{1010-1000}{\sqrt{100}}\right \} =P\left \{ Z > 1\right \}$，其中$Z$是标准正态分布的随机变量。根据题目给出的$\Phi (1)=0.8413$，可以得到$P\left \{ Z > 1\right \} =1-\Phi (1)=1-0.8413=0.1587$。