题目
[题目]设总体x的密度函数为 (x,beta )= B/(x^2+1), x>1, 0, x≤1 其-|||-中未知参数 β>1, x1,x2,···,xn为取自总体x的简-|||-单随机样本,求参数B的矩估计量和极大似然估计-|||-量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算总体的期望
根据给定的密度函数，计算总体的期望值 $EX$。
$EX={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x,B)dx={\int }_{1}^{-\infty }\dfrac {\beta }{{x}^{\beta }}dx=\dfrac {\beta }{\beta -1}$
步骤 2：求矩估计量
令 $EX=\overline {X}$，即 $\overline {x}=\dfrac {\beta }{\beta -1}$，解得 $\beta =\dfrac {x}{x-1}$。因此，参数 $\beta$ 的矩估计量为 $\beta =\dfrac {\overline {x}}{\overline {x}-1}$。
步骤 3：求极大似然估计量
似然函数为 $L({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},\beta )=n\pi =1\dfrac {\beta }{{{x}_{1}}^{n+1}}$，其中 ${x}_{1}\gt 1(i=1,2,\cdots ,n)$。对似然函数取对数，得到 $\ln L=n\ln \beta -(\beta +1)\ln ({x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n})$。对 $\ln L$ 关于 $\beta$ 求导，得到 $\dfrac {d\ln L}{dB}=0$，解得 $\beta= \dfrac {n}{\ln ({X}_{1}{X}_{2}\cdots {X}_{n})}$。因此，参数 $\beta$ 的极大似然估计量为 $\beta =\dfrac {n}{\ln ({X}_{1}{X}_{2}\cdots {X}_{n})}$。
根据给定的密度函数，计算总体的期望值 $EX$。
$EX={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x,B)dx={\int }_{1}^{-\infty }\dfrac {\beta }{{x}^{\beta }}dx=\dfrac {\beta }{\beta -1}$
步骤 2：求矩估计量
令 $EX=\overline {X}$，即 $\overline {x}=\dfrac {\beta }{\beta -1}$，解得 $\beta =\dfrac {x}{x-1}$。因此，参数 $\beta$ 的矩估计量为 $\beta =\dfrac {\overline {x}}{\overline {x}-1}$。
步骤 3：求极大似然估计量
似然函数为 $L({x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n},\beta )=n\pi =1\dfrac {\beta }{{{x}_{1}}^{n+1}}$，其中 ${x}_{1}\gt 1(i=1,2,\cdots ,n)$。对似然函数取对数，得到 $\ln L=n\ln \beta -(\beta +1)\ln ({x}_{1}{x}_{2}\cdots {x}_{n})$。对 $\ln L$ 关于 $\beta$ 求导，得到 $\dfrac {d\ln L}{dB}=0$，解得 $\beta= \dfrac {n}{\ln ({X}_{1}{X}_{2}\cdots {X}_{n})}$。因此，参数 $\beta$ 的极大似然估计量为 $\beta =\dfrac {n}{\ln ({X}_{1}{X}_{2}\cdots {X}_{n})}$。