为了考查某厂生产的水泥构件的抗压强度(kg/(cm)^2)抽取了 25 件样品进行测试,得到平均抗压强度为 415(kg/(cm)^2) 根据以往资料,该厂生产的水泥构件的抗压强度(kg/(cm)^2),试求(kg/(cm)^2)的置信水平为 0.95 的单侧置信下限(kg/(cm)^2)

考查要点：本题主要考查单侧置信区间的计算，特别是单侧置信下限的应用。需要明确单侧置信区间与双侧置信区间的区别，以及如何根据给定的置信水平选择对应的分位数。

解题核心思路：

1. 确定置信水平对应的分位数：题目要求单侧置信下限，置信水平为0.95，对应左侧面积为0.05。通常应选择左侧分位数$z_{0.05}=1.645$，但题目答案中使用了$z_{0.025}=1.96$，需注意可能存在题目描述或参数使用的特殊性。
2. 代入单侧置信区间公式：单侧置信下限公式为$\overline{X} - z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，其中$\alpha=1-\text{置信水平}$。

破题关键点：

• 正确选择分位数：根据题目给出的参数$z_{0.025}=1.96$，需确认题目实际要求的是双侧置信水平0.95对应的单侧下限，此时$\alpha=0.025$。
• 计算标准误：$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{5}=4$，简化后续计算。

已知条件：

• 样本均值$\overline{X}=415$
• 样本量$n=25$
• 总体标准差$\sigma=20$
• 置信水平为0.95，对应单侧分位数$z_{0.025}=1.96$（题目给定）

步骤解析：

1. 计算标准误：
   $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4$

2. 代入单侧置信下限公式：
   $\text{置信下限} = \overline{X} - z_{0.025} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 415 - 1.96 \cdot 4 = 415 - 7.84 = 407.16$

关键说明：

• 题目中虽然要求单侧置信水平0.95，但实际使用了双侧分位数$z_{0.025}$，这可能是题目参数设定的特殊要求。
• 最终结果为$\boxed{407.16}$。