题目
7.某公司雇用3000名推销员,为了发放外出补贴,需要估计推销员每年的平-|||-均乘车里程。从过去的经验可知,通常每位推销员乘车里程的标准差为4000公里。-|||-随机选取16名推销员,得到他们的年平均乘车里程为12000公里。-|||-(1)总体均值计量是多少?-|||-(2)确定总体均值μ的95%置信区间;-|||-(3)公司经理们认为均值应介于11000到13000公里之间,那么该估计的置-|||-信度是多少?-|||-(4)如果在(3)的估计中希望有95%的置信水平,这时所要求的样本容量是-|||-多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：总体均值的估计
总体均值的估计量即为样本均值，样本均值为12000公里。
步骤 2：总体均值的95%置信区间
总体方差已知，所有推销员乘车里程可以认为是服从正态分布的。故样本均值经标准化后服从正态分布，总体均值95%的置信区间为：
\[ x \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 12000 \pm 1.96 \times \frac{4000}{\sqrt{16}} = [10040, 13960] \]
步骤 3：估计的置信度
若均值介于11000到13000公里之间，则：
\[ E = Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1000 \]
代入σ和n，计算得：
\[ Z_{\alpha/2} = 1 \]
对照标准正态分布表，可得：
\[ \alpha = 0.3174 \]
则该估计的置信度为：
\[ 1 - \alpha = 0.6826 \]
步骤 4：样本容量的计算
若希望有95%的置信水平，所需的样本容量为：
\[ n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \sigma^2}{E^2} = \frac{1.96^2 \times 4000^2}{1000^2} = 61.47 \approx 62 \]
总体均值的估计量即为样本均值，样本均值为12000公里。
步骤 2：总体均值的95%置信区间
总体方差已知，所有推销员乘车里程可以认为是服从正态分布的。故样本均值经标准化后服从正态分布，总体均值95%的置信区间为：
\[ x \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 12000 \pm 1.96 \times \frac{4000}{\sqrt{16}} = [10040, 13960] \]
步骤 3：估计的置信度
若均值介于11000到13000公里之间，则：
\[ E = Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1000 \]
代入σ和n，计算得：
\[ Z_{\alpha/2} = 1 \]
对照标准正态分布表，可得：
\[ \alpha = 0.3174 \]
则该估计的置信度为：
\[ 1 - \alpha = 0.6826 \]
步骤 4：样本容量的计算
若希望有95%的置信水平，所需的样本容量为：
\[ n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \sigma^2}{E^2} = \frac{1.96^2 \times 4000^2}{1000^2} = 61.47 \approx 62 \]