题目
在一根外径为 100 , (mm) 的热力管道外拟包覆两层绝热材料，一种材料的导热系数为 0.05 , (W/(m·K))，另一种为 0.08 , (W/(m·K))，两种材料的厚度都取为 75 , (mm)。试比较把导热系数小的材料紧贴管壁及把导热系数大的材料紧贴管壁这两种方法对保温效果的影响，这种影响对于平壁的情形是否存在？假设在两种做法中绝热层内、外表面的总温差保持不变。
在一根外径为 $100 \, \text{mm}$ 的热力管道外拟包覆两层绝热材料，一种材料的导热系数为 $0.05 \, \text{W/(m·K)}$，另一种为 $0.08 \, \text{W/(m·K)}$，两种材料的厚度都取为 $75 \, \text{mm}$。试比较把导热系数小的材料紧贴管壁及把导热系数大的材料紧贴管壁这两种方法对保温效果的影响，这种影响对于平壁的情形是否存在？假设在两种做法中绝热层内、外表面的总温差保持不变。
题目解答
答案
根据圆筒壁热阻公式：
\[
R = \frac{1}{2\pi L} \left( \frac{1}{\lambda_1} \ln \frac{r_2}{r_1} + \frac{1}{\lambda_2} \ln \frac{r_3}{r_2} \right)
\]
对于情况一（$ \lambda_1 = 0.05 $ 紧贴管壁）：
\[
R_1 = \frac{24.201}{2\pi L}
\]
对于情况二（$ \lambda_2 = 0.08 $ 紧贴管壁）：
\[
R_2 = \frac{20.854}{2\pi L}
\]
显然，$ R_1 > R_2 $，故情况一保温效果更好。
在平壁中，总热阻 $ R = \frac{L_1}{\lambda_1 A} + \frac{L_2}{\lambda_2 A} $ 与材料顺序无关，故无此影响。
结论：将导热系数小的材料紧贴管壁可提高保温效果，而平壁中无此现象。
解析
考查要点：本题主要考查圆筒壁和矩形平壁的热阻计算，以及不同绝热材料排列顺序对保温效果的影响。
解题核心思路：
- 圆筒壁热阻公式：总热阻为各层热阻之和，每层热阻与材料的导热系数和半径比的自然对数有关。
- 平壁热阻公式：总热阻为各层热阻之和，但与材料排列顺序无关。
- 关键结论：在圆筒壁中，导热系数小的材料应紧贴管壁以增大总热阻，而平壁中材料顺序不影响总热阻。
情况一（导热系数小的材料紧贴管壁）
- 确定半径：
- 管道外半径 $r_1 = 50 \, \text{mm}$
- 第一层外半径 $r_2 = 50 + 75 = 125 \, \text{mm}$
- 第二层外半径 $r_3 = 125 + 75 = 200 \, \text{mm}$
- 计算热阻：
$R_1 = \frac{1}{2\pi L} \left( \frac{\ln \frac{125}{50}}{0.05} + \frac{\ln \frac{200}{125}}{0.08} \right) \approx \frac{24.201}{2\pi L}$
情况二（导热系数大的材料紧贴管壁）
- 确定半径：
- 管道外半径 $r_1 = 50 \, \text{mm}$
- 第一层外半径 $r_2 = 50 + 75 = 125 \, \text{mm}$
- 第二层外半径 $r_3 = 125 + 75 = 200 \, \text{mm}$
- 计算热阻：
$R_2 = \frac{1}{2\pi L} \left( \frac{\ln \frac{125}{50}}{0.08} + \frac{\ln \frac{200}{125}}{0.05} \right) \approx \frac{20.854}{2\pi L}$
平壁情形分析
平壁总热阻公式为：
$R = \frac{L_1}{\lambda_1 A} + \frac{L_2}{\lambda_2 A}$
由于加法交换律，材料顺序不影响总热阻，因此平壁中无此影响。