题目
10、已知固定燃料火箭推进器的燃烧率X（单位：cm/s）服从N(mu,0.5^2)，从中抽取容量为25的样本，得到其燃烧率样本均值观察值为18cm/s，试求μ的置信水平为0.95的双侧置信区间.（注：z_(0.05)=1.645，z_(0.025)=1.96）.
10、已知固定燃料火箭推进器的燃烧率X（单位：cm/s）服从$N(\mu,0.5^{2})$，从中抽取容量为25的样本，得到其燃烧率样本均值观察值为18cm/s，试求μ的置信水平为0.95的双侧置信区间.（注：$z_{0.05}=1.645$，$z_{0.025}=1.96$）.
题目解答
答案
已知条件：
- 样本均值 $\overline{x} = 18$ cm/s
- 总体标准差 $\sigma = 0.5$ cm/s
- 样本容量 $n = 25$
- 置信水平 $1 - \alpha = 0.95$，对应双侧分位数 $z_{0.025} = 1.96$
置信区间公式：
\[
\overline{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]
代入数值计算：
\[
18 \pm 1.96 \times \frac{0.5}{5} = 18 \pm 0.196
\]
结果：
\[
\boxed{(17.804, 18.196)}
\]
解析
考查要点：本题主要考查正态总体均值的双侧置信区间的计算，涉及总体标准差已知时的处理方法，以及置信水平与分位数的关系。
解题核心思路：
- 确认总体分布与已知参数：题目明确总体服从正态分布，且已知总体标准差$\sigma=0.5$，因此直接使用z分布构造置信区间。
- 确定置信水平对应的分位数：双侧置信水平为$0.95$，对应$\alpha=0.05$，需查找双侧分位数$z_{\alpha/2}=z_{0.025}=1.96$。
- 代入置信区间公式：利用样本均值$\overline{x}=18$、样本容量$n=25$，计算区间范围。
破题关键点：
- 区分单侧与双侧分位数：注意题目要求双侧置信区间，需使用$z_{0.025}$而非$z_{0.05}$。
- 正确计算标准误：标准误为$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，需注意分母为$\sqrt{n}$。
已知条件：
- 样本均值 $\overline{x} = 18$ cm/s
- 总体标准差 $\sigma = 0.5$ cm/s
- 样本容量 $n = 25$
- 置信水平 $1 - \alpha = 0.95$，对应双侧分位数 $z_{0.025} = 1.96$
置信区间公式：
$\mu \in \overline{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
计算步骤：
- 计算标准误：
$\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.5}{\sqrt{25}} = \frac{0.5}{5} = 0.1$ - 计算边际误差：
$z_{0.025} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot 0.1 = 0.196$ - 构造置信区间：
$18 \pm 0.196 \quad \Rightarrow \quad (17.804, 18.196)$