题目
例8 设活塞的直径(以cm计) sim N((22.40)^circ (0.03)^2), 汽缸的直径 sim -|||-N(22.50,0.04^2),X与Y相互独立,任取一只活塞,任取一只汽缸,求活塞能装入-|||-汽缸的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定活塞和汽缸直径的分布
活塞的直径 $X$ 服从正态分布 $N(22.40, 0.03^2)$，汽缸的直径 $Y$ 服从正态分布 $N(22.50, 0.04^2)$。由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，我们需要计算 $X-Y$ 的分布。
步骤 2：计算 $X-Y$ 的分布
由于 $X$ 和 $Y$ 都是正态分布，$X-Y$ 也服从正态分布。$X-Y$ 的均值为 $22.40 - 22.50 = -0.10$，方差为 $0.03^2 + 0.04^2 = 0.0025$。因此，$X-Y \sim N(-0.10, 0.0025)$。
步骤 3：计算活塞能装入汽缸的概率
活塞能装入汽缸的概率为 $P(X < Y)$，即 $P(X-Y < 0)$。由于 $X-Y \sim N(-0.10, 0.0025)$，我们可以通过标准化转换来计算这个概率。
$$
P(X-Y < 0) = P\left(\frac{(X-Y) - (-0.10)}{\sqrt{0.0025}} < \frac{0 - (-0.10)}{\sqrt{0.0025}}\right) = P\left(Z < \frac{0.10}{0.05}\right) = P(Z < 2)
$$
其中 $Z$ 是标准正态分布的随机变量。根据标准正态分布表，$P(Z < 2) = \Phi(2) = 0.9772$。
活塞的直径 $X$ 服从正态分布 $N(22.40, 0.03^2)$，汽缸的直径 $Y$ 服从正态分布 $N(22.50, 0.04^2)$。由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，我们需要计算 $X-Y$ 的分布。
步骤 2：计算 $X-Y$ 的分布
由于 $X$ 和 $Y$ 都是正态分布，$X-Y$ 也服从正态分布。$X-Y$ 的均值为 $22.40 - 22.50 = -0.10$，方差为 $0.03^2 + 0.04^2 = 0.0025$。因此，$X-Y \sim N(-0.10, 0.0025)$。
步骤 3：计算活塞能装入汽缸的概率
活塞能装入汽缸的概率为 $P(X < Y)$，即 $P(X-Y < 0)$。由于 $X-Y \sim N(-0.10, 0.0025)$，我们可以通过标准化转换来计算这个概率。
$$
P(X-Y < 0) = P\left(\frac{(X-Y) - (-0.10)}{\sqrt{0.0025}} < \frac{0 - (-0.10)}{\sqrt{0.0025}}\right) = P\left(Z < \frac{0.10}{0.05}\right) = P(Z < 2)
$$
其中 $Z$ 是标准正态分布的随机变量。根据标准正态分布表，$P(Z < 2) = \Phi(2) = 0.9772$。