题目
如图所示悬臂梁(抗弯刚度为EI),求A、B点的挠度和转角。 (18分)F-|||-A 1 B-|||-L
如图所示悬臂梁(抗弯刚度为EI),求A、B点的挠度和转角。 (18分)
题目解答
答案
以A为坐标原点,AB为x轴建立坐标系。
A端是固定端,故挠度yA=0, 转角θA=0
梁的弯矩方程:
挠曲线微分方程:
由y’(0)=0,y(0)=0得:C=0,D=0
则:B点的挠度
(向下)
(向下)B点的转角
(顺时针)
(顺时针)解析
步骤 1：建立坐标系
以A为坐标原点，AB为x轴建立坐标系。A端是固定端，故挠度yA=0，转角θA=0。
步骤 2：求解弯矩方程
梁的弯矩方程为：M(x) = -F(L-x)。
步骤 3：建立挠曲线微分方程
挠曲线微分方程为：$\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}}=-\dfrac {M(x)}{El}=\dfrac {F}{El}(L-x)$。
步骤 4：求解挠曲线方程
对挠曲线微分方程进行两次积分，得到挠曲线方程：$y'=\dfrac {F}{El}(Lx-\dfrac {1}{2}{x}^{2})+c$，$y=\dfrac {F}{El}(\dfrac {L{x}^{2}}{2}-\dfrac {{x}^{3}}{6})+cx+D$。
步骤 5：确定积分常数
由y’(0)=0，y(0)=0得：C=0，D=0。
步骤 6：求解B点的挠度和转角
将x=L代入挠曲线方程，得到B点的挠度${y}_{B}=y(L)=\dfrac {F{L}^{3}}{3El}$（向下）。
将x=L代入挠曲线的一阶导数方程，得到B点的转角${\theta }_{B}=y'(L)=\dfrac {F{L}^{2}}{2El}$（顺时针）。
以A为坐标原点，AB为x轴建立坐标系。A端是固定端，故挠度yA=0，转角θA=0。
步骤 2：求解弯矩方程
梁的弯矩方程为：M(x) = -F(L-x)。
步骤 3：建立挠曲线微分方程
挠曲线微分方程为：$\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}}=-\dfrac {M(x)}{El}=\dfrac {F}{El}(L-x)$。
步骤 4：求解挠曲线方程
对挠曲线微分方程进行两次积分，得到挠曲线方程：$y'=\dfrac {F}{El}(Lx-\dfrac {1}{2}{x}^{2})+c$，$y=\dfrac {F}{El}(\dfrac {L{x}^{2}}{2}-\dfrac {{x}^{3}}{6})+cx+D$。
步骤 5：确定积分常数
由y’(0)=0，y(0)=0得：C=0，D=0。
步骤 6：求解B点的挠度和转角
将x=L代入挠曲线方程，得到B点的挠度${y}_{B}=y(L)=\dfrac {F{L}^{3}}{3El}$（向下）。
将x=L代入挠曲线的一阶导数方程，得到B点的转角${\theta }_{B}=y'(L)=\dfrac {F{L}^{2}}{2El}$（顺时针）。