题目
已知随机变量X服从标准正态分布，Y=2X 2 +X +3，则X与Y(）A. 不相关且相互独立B. 不相关且相互不独立C. 相关且相互独立D. 相关且相互不独立
已知随机变量X服从标准正态分布，Y=2X 2 +X +3，则X与Y(）
A. 不相关且相互独立
B. 不相关且相互不独立
C. 相关且相互独立
D. 相关且相互不独立
题目解答
答案
D. 相关且相互不独立
解析
步骤 1：定义随机变量
随机变量X服从标准正态分布，即X~N(0,1)。Y=2X^2+X+3。
步骤 2：计算协方差
协方差Cov(X,Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]。由于X~N(0,1)，E[X]=0。因此，Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = E[XY] - 0*E[Y] = E[XY]。
E[XY] = E[X(2X^2+X+3)] = E[2X^3+X^2+3X] = 2E[X^3]+E[X^2]+3E[X]。
由于X~N(0,1)，E[X^3]=0，E[X^2]=1，E[X]=0。因此，E[XY] = 2*0+1+3*0 = 1。
所以，Cov(X,Y) = 1。
步骤 3：判断相关性
由于Cov(X,Y) ≠ 0，所以X与Y相关。
步骤 4：判断独立性
由于Y是X的函数，所以X与Y不独立。
随机变量X服从标准正态分布，即X~N(0,1)。Y=2X^2+X+3。
步骤 2：计算协方差
协方差Cov(X,Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]。由于X~N(0,1)，E[X]=0。因此，Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = E[XY] - 0*E[Y] = E[XY]。
E[XY] = E[X(2X^2+X+3)] = E[2X^3+X^2+3X] = 2E[X^3]+E[X^2]+3E[X]。
由于X~N(0,1)，E[X^3]=0，E[X^2]=1，E[X]=0。因此，E[XY] = 2*0+1+3*0 = 1。
所以，Cov(X,Y) = 1。
步骤 3：判断相关性
由于Cov(X,Y) ≠ 0，所以X与Y相关。
步骤 4：判断独立性
由于Y是X的函数，所以X与Y不独立。