八、(8分)设甲、乙两种齿轮的直径都服从正态分布。各取8个,测直径并计算得相关数据:样本均值15, 17;样本方差,。在显著水平下检验(1)两种齿轮直径的方差有无显著差异;(2)两种齿轮直径的均值有无显著差异(,)。

步骤 1：检验两种齿轮直径的方差有无显著差异
- 首先，我们设定原假设${H}_{0}$和备择假设${H}_{1}$。原假设${H}_{0}$为两种齿轮直径的方差相等，即${{\sigma }_{甲}}^{2}={{\sigma }_{乙}}^{2}$；备择假设${H}_{1}$为两种齿轮直径的方差不相等，即${{\sigma }_{甲}}^{2}\neq {{\sigma }_{乙}}^{2}$。
- 然后，我们计算F统计量，$F=\dfrac {{{S}_{1}}^{2}}{{{S}_{2}}^{2}}=\dfrac {25}{24}=1.041$。
- 接着，我们比较F统计量与临界值${F}_{0.025}(7,7)=4.99$。由于$F=1.041<4.99$，我们不能拒绝原假设${H}_{0}$，认为两种齿轮直径的方差没有显著差异。

步骤 2：检验两种齿轮直径的均值有无显著差异
- 首先，我们设定原假设${H}_{0}$和备择假设${H}_{1}$。原假设${H}_{0}$为两种齿轮直径的均值相等，即${M}_{1}={M}_{2}$；备择假设${H}_{1}$为两种齿轮直径的均值不相等，即${M}_{1}\neq {M}_{2}$。
- 然后，我们计算t统计量，$t=\dfrac {\overline {X}_{1}-\overline {X}_{2}}{\sqrt {\dfrac {({n}_{1}-1){{s}_{1}}^{2}+({n}_{2}-1){{s}_{2}}^{2}}{{n}_{1}+{n}_{2}-2}(\dfrac {1}{{n}_{1}}+\dfrac {1}{{n}_{2}})}}=\dfrac {15-17}{\sqrt {\dfrac {(8-1)25+(8-1)24}{8+8-2}(\dfrac {1}{8}+\dfrac {1}{8})}}=0.808$。
- 接着，我们比较t统计量与临界值$t_{0.05}(14)=2.145$。由于$t=0.808<2.145$，我们接受原假设${H}_{0}$，认为两种齿轮直径的均值没有显著差异。