题目

X sim N(mu, 4^2), Y sim N(mu, 5^2), p_1 = PX leq mu - 4, p_2 = PY geq mu + 5, 则(). A. 对任意实数 mu, p_1 = p_2B. 对任意实数 mu, p_1 < p_2C. 只对 mu 的个别值, 才有 p_1 = p_2D. 对任意实数 mu, 都有 p_1 > p_2

$X \sim N(\mu, 4^2)$, $Y \sim N(\mu, 5^2)$, $p_1 = P\{X \leq \mu - 4\}$, $p_2 = P\{Y \geq \mu + 5\}$, 则().

  • A. 对任意实数 $\mu$, $p_1 = p_2$
  • B. 对任意实数 $\mu$, $p_1 < p_2$
  • C. 只对 $\mu$ 的个别值, 才有 $p_1 = p_2$
  • D. 对任意实数 $\mu$, 都有 $p_1 > p_2$

题目解答

答案

将 $X$ 和 $Y$ 标准化后，得到： \[ P_1 = P\left\{\frac{X - \mu}{4} \leq -1\right\} = \Phi(-1) \] \[ P_2 = P\left\{\frac{Y - \mu}{5} \geq 1\right\} = 1 - \Phi(1) = \Phi(-1) \] 由于 $\Phi(-1) = \Phi(-1)$，对任意实数 $\mu$，都有 $P_1 = P_2$。 **答案：A**

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算及标准化方法，重点在于理解标准正态分布的对称性及其应用。

解题核心思路：

  1. 标准化处理：将两个不同方差的正态分布变量转化为标准正态分布变量，利用标准正态分布函数$\Phi(z)$计算概率。
  2. 对称性分析：通过标准正态分布的对称性（$\Phi(-a) = 1 - \Phi(a)$），比较两个概率的大小关系。
  3. 关键结论：标准化后，两个概率均转化为$\Phi(-1)$，因此无论$\mu$取何值，$p_1 = p_2$。

步骤1：标准化处理

  • 对于$X \sim N(\mu, 4^2)$：
    标准化得$Z_X = \frac{X - \mu}{4}$，则$p_1 = P\{X \leq \mu - 4\} = P\left\{Z_X \leq \frac{\mu - 4 - \mu}{4}\right\} = P\{Z_X \leq -1\} = \Phi(-1)$。
  • 对于$Y \sim N(\mu, 5^2)$：
    标准化得$Z_Y = \frac{Y - \mu}{5}$，则$p_2 = P\{Y \geq \mu + 5\} = P\left\{Z_Y \geq \frac{\mu + 5 - \mu}{5}\right\} = P\{Z_Y \geq 1\} = 1 - \Phi(1)$。

步骤2：利用对称性比较概率

根据标准正态分布的对称性：
$\Phi(1) = 1 - \Phi(-1) \implies 1 - \Phi(1) = \Phi(-1).$
因此，$p_2 = \Phi(-1)$，与$p_1$相等。

结论

无论$\mu$取何值，$p_1 = p_2$，故正确答案为A。