题目
设总体un服从参数为un的泊松分布，un为来自总体的容量为n的样本，则un的联合概率分布为（ ）
设总体
服从参数为
的泊松分布，
为来自总体的容量为n的样本，则的联合概率分布为（ ）
题目解答
答案
根据泊松分布的可加性，若
是相互独立的泊松随机变量，参数分别为
，则
服从泊松分布，参数为
。本题中，，为来自总体的样本，满足为相互独立的泊松随机变量，所以的联合概率分布为泊松分布，参数为
。
解析
步骤 1：理解泊松分布的性质
泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在固定时间或空间内发生某事件的次数。若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则其概率质量函数为$P(X=k)=\frac{{\lambda }^{k}{e}^{-\lambda }}{k!}$，其中k为非负整数，λ为正实数。
步骤 2：理解样本的联合概率分布
给定一个样本$({\xi }_{1},{\xi }_{2}\cdots {\xi }_{n})$，其联合概率分布是所有样本点同时发生的概率。对于独立同分布的样本，联合概率分布是每个样本点概率的乘积。
步骤 3：计算联合概率分布
由于$({\xi }_{1},{\xi }_{2}\cdots {\xi }_{n})$是来自总体的样本，且总体服从参数为λ的泊松分布，因此每个样本点${\xi }_{i}$的概率质量函数为$P({\xi }_{i}=k)=\frac{{\lambda }^{k}{e}^{-\lambda }}{k!}$。由于样本点相互独立，联合概率分布为$P({\xi }_{1}={k}_{1},{\xi }_{2}={k}_{2}\cdots {\xi }_{n}={k}_{n})=\prod _{i=1}^{n}P({\xi }_{i}={k}_{i})=\prod _{i=1}^{n}\frac{{\lambda }^{{k}_{i}}{e}^{-\lambda }}{{k}_{i}!}$。
泊松分布是一种离散概率分布，用于描述在固定时间或空间内发生某事件的次数。若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则其概率质量函数为$P(X=k)=\frac{{\lambda }^{k}{e}^{-\lambda }}{k!}$，其中k为非负整数，λ为正实数。
步骤 2：理解样本的联合概率分布
给定一个样本$({\xi }_{1},{\xi }_{2}\cdots {\xi }_{n})$，其联合概率分布是所有样本点同时发生的概率。对于独立同分布的样本，联合概率分布是每个样本点概率的乘积。
步骤 3：计算联合概率分布
由于$({\xi }_{1},{\xi }_{2}\cdots {\xi }_{n})$是来自总体的样本，且总体服从参数为λ的泊松分布，因此每个样本点${\xi }_{i}$的概率质量函数为$P({\xi }_{i}=k)=\frac{{\lambda }^{k}{e}^{-\lambda }}{k!}$。由于样本点相互独立，联合概率分布为$P({\xi }_{1}={k}_{1},{\xi }_{2}={k}_{2}\cdots {\xi }_{n}={k}_{n})=\prod _{i=1}^{n}P({\xi }_{i}={k}_{i})=\prod _{i=1}^{n}\frac{{\lambda }^{{k}_{i}}{e}^{-\lambda }}{{k}_{i}!}$。